Ermittle die Nullstelle von $g$

Gegeben ist $g(x)=\arctan \left({\displaystyle \frac{x^2-9}{x-5}}\right)$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $g(x)=0$.

Es gilt: $\arctan (0)=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{x^2-9}{x-5}}\Rightarrow x^2-9=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 3$.

Wegen $D_g=]-\infty ;1[$ entfällt die Lösung $x=3$.

Die Nullstelle von $g$ ist $x=-3$.

Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von g für x → $-\infty$

Der Grenzwert von $\arctan (x)$ für $x$ gegen $-\infty$ ist $-\pi /2$.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-9}{x-5}}={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x(x-\stackrel{\to 0}{\overbrace{{\displaystyle \frac{9}{x}}}})}{x(1-\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{5}{x}}}})}}={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }x=-\infty }}}$$

Somit ist $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-\pi /2}$$.

Bestimme einen Term der Umkehrfunktion von $g$

Tausche die Variablen und löse nach $y$ auf:

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Damit ist $g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{\tan x}{2}}\pm \sqrt{\frac{(\tan x{)}^2}{4}-5\tan x+9}$.

Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist korrekt? Dazu können wir die Eigenschaft $\arctan 0=0$ nutzen. Setze also $y=-3\in D_g$ ein: $g(-3)=0.$ Bei der "richtigen" Umkehrfunktion muss der Wert von $g^{-1}(0)=-3$ sein.

$g^{-1}(0)={\displaystyle \frac{\tan 0}{2}}\pm \sqrt{\frac{(\tan 0)}{2}-5\tan 0+9}=0\pm 3$

Daher ist die Gleichung der Umkehrfunktion