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Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x2x4x2 mit der Definitionsmenge Df=]2;2[.

    Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

    1. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von Gf und die Nullstelle von f an.

      (2 BE)

    2. Weisen Sie nach, dass die Funktion f in ihrer Definitionsmenge Df umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von f. (6 BE)

    3. Der Graph von f und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei x=1 schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.

      Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)

    4. Gegeben ist nun die Funktion g:xln(f(x)) mit der maximalen Definitionsmenge DgDf. Ermitteln Sie die Definitionsmenge Dg und die exakte Nullstelle von g.

      (5 BE)

  2. 2

    Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen Gh einer in stetigen Funktion h. Die x-Achse ist Asymptote von Gh. Außerdem gilt: h(x)0 für x.

    G_h

    Gh

    Zudem ist die Funktion H:x2xh(t)dt mit der Definitionsmenge DH= gegeben.

    Entscheiden Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

    A: „Der Graph von H besitzt bei x=4 einen Extrempunkt.“

    B: „Der Graph von H hat bei x=1 eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“

    (5 BE)


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