Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis
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Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von und die Nullstelle von an.
(2 BE)
Weisen Sie nach, dass die Funktion in ihrer Definitionsmenge umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von . (6 BE)
Der Graph von und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)
Gegeben ist nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Ermitteln Sie die Definitionsmenge und die exakte Nullstelle von .
(5 BE)
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Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer in stetigen Funktion . Die x-Achse ist Asymptote von . Außerdem gilt: für .
Zudem ist die Funktion mit der Definitionsmenge gegeben.
Entscheiden Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
A: „Der Graph von besitzt bei einen Extrempunkt.“
B: „Der Graph von hat bei eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“
(5 BE)
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