Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Zehn gleich große Karten sind mit vier verschiedenen Symbolen (Handball, Radfahren, Laufen, Fußball) bedruckt.
Sie sind nach den vier Symbolen in Stapeln sortiert (siehe Abbildung).
Die Karten werden gemischt und verdeckt auf den Tisch gelegt. Sie werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dabei werden zwei Karten gleichzeitig gezogen. Für das Spiel wird der abgebildete Gewinnplan geprüft.
- Berechne den Erwartungswert.
Der Veranstalter möchte langfristig pro Spiel einen Erlös von 0,50 € erzielen.
- Wie hoch muss dann der Gewinn für Laufen und Fussball sein, wenn alles andere unverändert bleibt?
(5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
$P (zweimal Laufen) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{45}$
$P (Laufen und Fußball) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{45}$
$P (Radfahren und Fußball) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{1}{15}$
Berechne den Erwartungswert.
$E = \frac{1}{45} \cdot 9 € + \frac{2}{45} \cdot 6 € + \frac{1}{15} \cdot 3 € - 1 € = - 0,33 €$
Der Erwartungswert beträgt $- 0,33 €$ .
Wie hoch muss der Gewinn für "Laufen und Fußball" sein, wenn der Veranstalter langfristig pro Spiel einen Erlös von $0,50 €$ erzielen möchte und alles andere unverändert bleibt?
$- 0,50 €$ $=$ $\frac{1}{45} \cdot 9 € + \frac{2}{45} \cdot x + \frac{1}{15} \cdot 3 € - 1 €$
$- 0,50 €$ $=$ $0,20 € + \frac{2}{45} \cdot x + 0,20 € - 1 €$
$- 0,50 €$ $=$ $- 0,60 € + \frac{2}{45} \cdot x$ $+ 0,60 €$
$0,10 €$ $=$ $\frac{2}{45} \cdot x$ $: \frac{2}{45}$
$x$ $=$ $2,25 €$
Der Gewinn für "Laufen und Fußball" muss $2,25 €$ sein, wenn der Veranstalter langfristig pro Spiel einen Erlös von $0,50 €$ erzielen möchte und alles andere unverändert bleibt.
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Die Flugbahn eines Speers ist nahezu parabelförmig.
Der Abwurfpunkt A liegt 1,80 m über der Abwurflinie.
Der Speer erreicht nach 20m, in horizontaler Richtung von der Abwurflinie gemessen, seine maximale Höhe von 9,80m.
- Berechne eine mögliche Funktionsgleichung der Flugkurve des Speers.
- Wie weit fliegt der Speer?
Ein zweiter Wurfversuch kann mit der Funktionsgleichung $y = - \frac{1}{30} x^{2} + 13$ beschrieben werden. Die Wurfweite beträgt $38,15$ m.
- Gib die Höhe dieses Abwurfpunktes an.
(5 P)
Berechne eine mögliche Funktionsgleichung der Flugkurve des Speers.Allgemeine Parabelform: $y = a x^{2} + c$
Abflughöhe $9,8 m$ : => $c = 9,8$
$y = a x^{2} + 9,8$
Die Koordinaten des Abwurfunktes sind $A (- 20 | 1,8)$ .
Setze $A (- 20 | 1,8)$ in die Parabel ein.
$1,8$ $=$ $a \cdot {(- 20)}^{2} + 9,8$ $- 9,8$
$- 8$ $=$ $a \cdot 400$ $: 400$
$- 0,02$ $=$ $a$
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet: $y = - 0,02 x^{2} + 9,8$
Wie weit fliegt der Speer?
Beim Auftreffen des Speers auf dem Boden ist die y-Koordinates des Auftreffpunktes 0. Berechne also die Nullstellen der Parabel.
$- 0,02 x^{2} + 9,8$ $=$ $0$ $- 9,8$
↓
subtrahiere
$- 0,02 x^{2}$ $=$ $- 9,8$ $: (- 0,02)$
↓
dividiere
$x^{2}$ $=$ $490$
↓
ziehe die Wurzel
$x_{1}$ $=$ $- 22,14$
$x_{2}$ $=$ $22,14$
Der Speer trifft also beim Punkt $N (22,14 | 0)$ auf dem Boden auf.
Die Wurfweite $w$ ergibt sich aus der Differenz der $x$ -Koordinaten des Abwurfpunktes $A$ und Auftreffpunktes $N$ .
$w = x_{N} - x_{A}$
$w = 22,14 - (- 20)$
$w = 42,14$
Die Wurfweite beträgt $42,14 m$ .
Ein zweiter Wurfversuch kann mit der Funktionsgleichung $y = - \frac{1}{30} x^{2} + 13$ beschrieben werden. Die Wurfweite beträgt $38,15$ m.
Gib die Höhe dieses Abwurfpunktes an.
Berechne die $x$ -Koordinate des Aufprallpunktes:
Die $y$ -Koordinate des Auftreffpunktes ist $0.$
$- \frac{1}{30} \cdot x^{2} + 13$ $=$ $0$ $- 13$
↓
subtrahiere
$- \frac{1}{30} \cdot x^{2}$ $=$ $- 13$ $: (- \frac{1}{30})$
↓
dividiere
$x^{2}$ $=$ $390$
↓
ziehe die Wurzel
$x_{1}$ $=$ $- 19,75$
$x_{2}$ $=$ $19,75$
Berechne die $x$ - Koordinate des Abwurfpunktes.
$x_{A 2} = x_{2} - Wurfweite$
$x_{A 2} = 19,75 - 38,15$
$x_{A 2} = - 18,4$
Berechne die y-Koordinate des Abwurfpunktes.
Setze $x_{A 2}$ in die Funktionsgleichung ein.
$y = - \frac{1}{30} \cdot (- 18,4)^{2} + 13$
$y = 1,71$
Der Abwurfpunkt befindet sich auf einer Höhe von $1,71 m$ .
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$- 0,50 €$	$=$	$\frac{1}{45} \cdot 9 € + \frac{2}{45} \cdot x + \frac{1}{15} \cdot 3 € - 1 €$
$- 0,50 €$	$=$	$0,20 € + \frac{2}{45} \cdot x + 0,20 € - 1 €$
$- 0,50 €$	$=$	$- 0,60 € + \frac{2}{45} \cdot x$	$+ 0,60 €$
$0,10 €$	$=$	$\frac{2}{45} \cdot x$	$: \frac{2}{45}$
$x$	$=$	$2,25 €$

$1,8$	$=$	$a \cdot {(- 20)}^{2} + 9,8$	$- 9,8$
$- 8$	$=$	$a \cdot 400$	$: 400$
$- 0,02$	$=$	$a$

$- 0,02 x^{2} + 9,8$	$=$	$0$	$- 9,8$
	↓	subtrahiere
$- 0,02 x^{2}$	$=$	$- 9,8$	$: (- 0,02)$
	↓	dividiere
$x^{2}$	$=$	$490$
	↓	ziehe die Wurzel
$x_{1}$	$=$	$- 22,14$
$x_{2}$	$=$	$22,14$

$- \frac{1}{30} \cdot x^{2} + 13$	$=$	$0$	$- 13$
	↓	subtrahiere
$- \frac{1}{30} \cdot x^{2}$	$=$	$- 13$	$: (- \frac{1}{30})$
	↓	dividiere
$x^{2}$	$=$	$390$
	↓	ziehe die Wurzel
$x_{1}$	$=$	$- 19,75$
$x_{2}$	$=$	$19,75$

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