Wahlteil B

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1
$a)$ Gegeben sind das rechtwinklige Dreieck $ABC$ und das gleichschenklige Dreieck $ADE$ .
Es gilt: $A B = 13,2 cm$ $α = 55,0 °$ $C E = 8,0 cm$ $A E = D E$
Berechne die Länge von $D F$ .
Berechne den Umfang des Vierecks $ABFE$ .
(5 Pkt.)
$b)$ Die Punkte $A (1 | - 8)$ und $B (3 | - 8)$ liegen auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel $p$ .
Gib die Funktionsgleichung der Parabel $p$ in der Normalform $y = x^{2} + b x + c$ an.
Die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der $x$ -Achse und die Punkte $A$ und $B$ bilden ein
Viereck.
Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.
Die Geraden $g$ und $h$ verlaufen jeweils auf den Diagonalen des Vierecks. Sie schneiden sich im Punkt $Q$ .
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $Q$ .
(5 Pkt.)
2
$a)$ Der Punkt $A (- 4 | - 1)$ liegt auf der Parabel $p_{1}$ mit der Funktionsgleichung $y = x^{2} + b x + 7$ . Die Gerade $g$ schneidet die Parabel $p_{1}$ im Punkt $A$ und im Scheitelpunkt $S_{1}$ .
Berechne die Funktionsgleichungen der Parabel $p_{1}$ und der Geraden $g$ .
Durch Spiegelung des Scheitelpunkts $S_{1}$ an der $y$ -Achse entsteht der Punkt $S_{2} .$ $S_{2}$ ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel $p_{2}$ .
Gib die Funktionsgleichung von $p_{2}$ in der Form $y = x^{2} + b x + c$ an.
Der Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der $y$ -Achse ist der Scheitelpunkt $S_{3}$ der Parabel $p_{3}$ .
Die Parabel $p_{3}$ der Form $y = a x^{2} + c$ geht außerdem durch die Scheitelpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$
Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p_{3}$ .
(5 Pkt.)
$b)$ In einer quadratischen Pyramide liegt das gleichschenklige Dreieck $EFS$ .
Es gilt:
$A B = E F = 12,6 cm$ $α = 72,0 °$ $E F ‖ A C$
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $EFS .$
Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide.
(5 Pkt.)
3
$a)$ Zehn gleich große Karten sind mit vier verschiedenen Symbolen (Handball, Radfahren,
Laufen, Fußball) bedruckt.
Sie sind nach den vier Symbolen in Stapeln sortiert (siehe Abbildung). Die Karten werden gemischt und verdeckt auf den Tisch gelegt. Sie werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dabei werden zwei Karten gleichzeitig gezogen. Für das Spiel wird der abgebildete Gewinnplan geprüft.
Berechne den Erwartungswert.
Der Veranstalter möchte langfristig pro Spiel einen Erlös von $0,50 €$ erzielen.
Wie hoch muss dann der Gewinn für Laufen und Fussball sein, wenn alles andere unverändert bleibt?
(5 Pkt.)
$b)$ Die Flugbahn eines Speers ist nahezu parabelförmig.
Der Abwurfpunkt A liegt $1,80 m$ über der Abwurflinie.
Der Speer erreicht nach $20 m$ , in horizontaler Richtung von der Abwurflinie gemessen,
seine maximale Höhe von $9,80 m .$
(Skizze nicht maßstabsgetreu)
Berechne eine mögliche Funktionsgleichung der Flugkurve des Speers.
Wie weit fliegt der Speer?
Ein zweiter Wurfversuch kann mit der Funktionsgleichung $y = - \frac{1}{30} x^{2} + 13$ beschrieben werden. Die Wurfweite beträgt $38,15 m .$
Gib die Höhe dieses Abwurfpunktes an.
(5 Pkt.)
4
$a)$ Die Gerade $g$ und die verschobene Normalparabel $p$ gehen durch die beiden Punkte $\begin{array}{l} \end{array}$ $A (2 | 3)$ und $B (6 | 11)$ . Der Punkt $C (4 | y_{c})$ liegt auf der Parabel $p$ . Die Gerade $h$ steht senkrecht auf $g$ und geht durch $C$ . Die Gerade $h$ schneidet die beiden Koordinatenachsen in den Punkten $P$ und $Q$ .
Berechne die Koordinaten von $P$ und $Q$ .
(5 Pkt.)
$b)$ Ein DIN-A4-Blatt hat die Eckpunkte $A, B, C$ und $D$ .
Die Punkte $M_{1}$ und $M_{2}$ halbieren die Seitenlängen des DIN-A4-Blatts. Das DIN-A4-Blatt wird wie abgebildet gefaltet. Der Punkt $A$ wird zu $A^{'}$ und liegt nach dem Falten auf $M_{1}$ . Der Punkt $C$ wird zum Punkt $C^{'}$ . Die beiden Papierkanten stoßen entlang von $M_{1} F$ aneinander.
Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks $E M_{1} D$ und des Vierecks $F B M_{2} C^{'}$ .
(5 Pkt.)

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