Bestimme rechnerisch die x-Koordinate von $W$

Gegeben ist $g(x)=x^2-e^x$.

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $g^{\prime \prime }(x)=0$.

Berechne $g^{\prime }(x)$ und $g^{\prime \prime }(x)$.

$g^{\prime }(x)=2x-e^x$ und $g^{\prime \prime }(x)=2-e^x$.

Löse die Gleichung $g^{\prime \prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=2-e^x\Rightarrow x=\ln 2\approx \mathrm{0,693}$

Die x-Koordinate von $W$ ist $x=\ln 2$.

Beurteile, ob $W$ oberhalb der x-Achse liegt

$g(\ln 2)=(\ln 2{)}^2-2$. Dabei ist $\ln 2<\ln e=1$. Daher ist $g(\ln 2)\le 1-2=-1<0$.

Daher liegt $W$ unterhalb der $x$-Achse.