Teil B: Analysis 2

(1) Begründe, dass $f_k$ für jeden Wert von $k>0$ genau zwei Nullstellen hat, und gib diese an

$$f_k(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2=0\iff x=0\vee x=2k}$$.

Wegen $k>0$ hat $f_k$ genau zwei Nullstellen.

(2) Der Hochpunkt von $G_k$ hat zu den beiden Tiefpunkten von $G_k$ denselben Abstand. Berechne diesen Abstand

(2) $f_k^{\prime }(x)=0\iff x=0\vee x=k\vee x=2k$.

Die Existenz von drei Extremstellen ist durch den Aufgabentext gesichert, sodass eine Überprüfung mit einem hinreichenden Kriterium nicht notwendig ist. Die Stelle $x=k$ liegt zwischen $x=0$ und $x=2k$; es handelt sich damit um die Maximalstelle.

Es ist $$f_k(x)={\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2}$$.

1. Tiefpunkt bei $$x=0\Rightarrow f_k(0)={\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot 0^2\cdot (0-2k{)}^2=0\Rightarrow }$$$T{P}_1(0|0)$

Hochpunkt bei $$x=k\Rightarrow f_k(k)={\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot k^2\cdot (k-2k{)}^2={\displaystyle \frac{k^3}{2}}}$$

Für den Abstand gilt:

$\begin{array}{l}d=\sqrt{(k-0{)}^2+{(f_k(k)-f_k(0))}^2}\\ =\sqrt{k^2+{({\displaystyle \frac{k^3}{2}}-0)}^2}=\sqrt{k^2+{\displaystyle \frac{k^6}{4}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4k^2+k^6}{4}}}={\displaystyle \frac{k\cdot \sqrt{k^4+4}}{2}}\end{array}$

Der Abstand der beiden Punkte beträgt $d={\displaystyle \frac{k\cdot \sqrt{k^4+4}}{2}}\mathrm{LE}$.

(3) Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen: Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $${\displaystyle {\int }_{-1}^1{f}_k(x)\mathrm{d}x}$$ den Inhalt der betrachteten Fläche an

Gegeben $${𝑓}_{𝑘}(𝑥)={\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2}$$ und $𝑘\in {ℝ}^{+}$.

Der Funktionsterm ist als Produkt von drei Faktoren gegeben, die alle nur nicht negative Werte annehmen: $\frac{1}{2k}>0$, weil $k>0$ ist; $x^2$ und $(x-2k{)}^2$ sind quadratische Terme und damit größer null. Folglich gibt es keine Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse, womit die Aussage richtig ist.

(4) Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: Für $k>3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als $k^5[\mathrm{FE}]$

Gegeben: $$f_k(x)={\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2}$$ und $h_k(x)=\frac{k}{2}\cdot (x-2k{)}^2$.

$f_k(x)=h_k(x)$

$$(1):{\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot x^2\cdot (x-2k{)}^2=\frac{k}{2}\cdot (x-2k{)}^2}$$

$(x-2k{)}^2=0$ hat die Lösung $x=2k$.

Teilt man für $x\ne 2k$ die Gleichung $(1)$ durch $(x-2k{)}^2$ erhältst Du die Gleichung

$${\displaystyle \frac{1}{2k}\cdot x^2=\frac{k}{2}\Rightarrow x^2=\frac{k}{2}\cdot 2k=k^2\Rightarrow x=-k\vee x=k}$$

Damit hat Gleichung $(1)$ die drei Lösungen $x=-k\vee x=k\vee x=2k$.

Dann folgt: $${\displaystyle {\int }_{-k}^k(f_k(x)-h_k(x))\mathrm{d}x=-\frac{14}{5}{k}^4}$$ und $${\displaystyle {\int }_k^{2k}(f_k(x)-h_k(x))\mathrm{d}x=\frac{1}{10}{k}^4}$$ (CAS)

Der Inhalt der Fläche beträgt ${\displaystyle \frac{14}{5}}{k}^4+{\displaystyle \frac{1}{10}}{k}^4={\displaystyle \frac{28+1}{10}}{k}^4={\displaystyle \frac{29}{10}}{k}^4$ Flächeneinheiten.

${\displaystyle \frac{29}{10}}{k}^4<k^5$ gilt, wenn $k>{\displaystyle \frac{29}{10}}$. Daher ist die Aussage für alle $k>3$ richtig.

(1) Berechne die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum

Die absoluten Extrema von $r$ im Intervall $[0;5]$ können nur an den Nullstellen von $r^{\prime }$ oder an den Randstellen auftreten. $r^{\prime }(x)=0\iff x={\displaystyle \frac{-(\sqrt{41}-1)}{2}}\approx -\mathrm{2,70}\vee x=0\vee x={\displaystyle \frac{\sqrt{41}+1}{2}}\approx \mathrm{3,70}\vee x=5$.

Die negative Lösung entfällt, da $r$ nur für $0\le x\le 5$ definiert ist.

Außerdem gilt: $r(0)=0,r\left(\frac{\sqrt{41}+1}{2}\right)\approx 187$ und $r(5)=0$.

Die kleinste momentane Zuflussrate beträgt somit $0\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$, die größte etwa $187\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$.

(2) Beschreibe die Bedeutung des Wertes $r^{\prime }\left(x_0\right)$, die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang.

Im Wendepunkt an der Stelle $x_0$ hat die Steigung der Funktion ihren Extremwert, ist also entweder am stärksten steigend oder am stärksten fallend.

Gegeben ist $r\text{′}({𝑥}_0)\approx \mathrm{100,5}$, d.h. die momentane Zuflussrate steigt im betrachteten Zeitraum mit etwa $\mathrm{100,5}{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ am stärksten zu dem Zeitpunkt an, der durch $x_0$ beschrieben wird.

(3) Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $${\displaystyle {\int }_4^{5}r(x)\mathrm{d}x<120}$$ Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang

In der Abbildung hat das Rechteck mit $120$ einen größeren Inhalt als die

schraffierte Fläche.

Die nicht schraffierte graue Fläche hat einen größeren Inhalt als der Teil der schraffierten Fläche, der nicht zum Rechteck gehört.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang

In der letzten Stunde des betrachteten Zeitraums sind weniger als $120{\text{ m}}^3$

Regenwasser in das Auffangbecken geflossen.

(4) Gib einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt

Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t=0$: $186{\text{ m}}^3$.

Zufluss in das Auffangbecken von $t=0$ bis $t=x$: $${\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t}$$.

$250{\displaystyle \frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}}$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

$(x-\mathrm{3,5})$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe.

$-250\cdot (x-\mathrm{3,5})$ ist das abgepumpte Wasservolumen in${\text{ m}}^3$ nach dem Einschalten der Pumpe.

Damit ergibt sich der folgende Term:

Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t=0$: $186{\text{ m}}^3$.

Zufluss in das Auffangbecken von $t=0$ bis $t=x$: $${\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t}$$.

$250{\displaystyle \frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}}$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

$(x-\mathrm{3,5})$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe.

$-250\cdot (x-\mathrm{3,5})$ ist das abgepumpte Wasservolumen in${\text{ m}}^3$ nach dem Einschalten der Pumpe.

Damit ergibt sich der folgende Term: $$186+{\displaystyle {\int }_0^{x}r(t)\mathrm{d}t-250\cdot (x-\mathrm{3,5})}$$