Teil B: Analysis 2 - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Schar der in $I R$ definierten Funktionen $f_{k}$ mit

$f_{k} (x) = \frac{1}{2 k} \cdot x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2} und k \in ℝ, k > 0$ .

Der Graph von $f_{k}$ wird mit $G_{k}$ bezeichnet.

(1) Begründen Sie, dass $f_{k}$ für jeden Wert von $k > 0$ genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an. [3 BE]
(2) Der Hochpunkt von $G_{k}$ hat zu den beiden Tiefpunkten von $G_{k}$ denselben Abstand. Berechnen Sie diesen Abstand. [4 BE]

(3) Betrachtet wird die Fläche, die $G_{k}$ , die $x$ -Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen $x = - 1$ und $x = 1$ einschließen. Sie setzt sich aus mehreren Flächenstücken zusammen.

Beurteilen Sie die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen:
Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $\int_{- 1}^{1} f_{k} (x) d x$ den Inhalt der betrachteten Fläche an.
[4 BE]
(4) Für jeden Wert von $k > 0$ schließen $G_{k}$ und der Graph der in $ℝ$ definierten Funktion $h_{k}$ mit $h_{k} (x) = \frac{k}{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$ eine Fläche ein, die sich aus zwei Flächenstücken zusammensetzt. Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: Für $k > 3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als $k^{5} [FE]$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
(1) Begründe, dass $f_{k}$ für jeden Wert von $k > 0$ genau zwei Nullstellen hat, und gib diese an
$f_{k} (x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2 k} \cdot x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 2 k$ .
Wegen $k > 0$ hat $f_{k}$ genau zwei Nullstellen.

(2) Der Hochpunkt von $G_{k}$ hat zu den beiden Tiefpunkten von $G_{k}$ denselben Abstand. Berechne diesen Abstand
(2) $f_{k}^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = k \lor x = 2 k$ .
Die Existenz von drei Extremstellen ist durch den Aufgabentext gesichert, sodass eine Überprüfung mit einem hinreichenden Kriterium nicht notwendig ist. Die Stelle $x = k$ liegt zwischen $x = 0$ und $x = 2 k$ ; es handelt sich damit um die Maximalstelle.
Es ist $f_{k} (x) = \frac{1}{2 k} \cdot x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$ .
1. Tiefpunkt bei $x = 0 \Rightarrow f_{k} (0) = \frac{1}{2 k} \cdot 0^{2} \cdot (0 - 2 k)^{2} = 0 \Rightarrow$ $T P_{1} (0 | 0)$
Hochpunkt bei $x = k \Rightarrow f_{k} (k) = \frac{1}{2 k} \cdot k^{2} \cdot (k - 2 k)^{2} = \frac{k^{3}}{2}$
Für den Abstand gilt:
$\begin{array}{l} d = \sqrt{(k - 0)^{2} + {(f_{k} (k) - f_{k} (0))}^{2}} \\ = \sqrt{k^{2} + {(\frac{k^{3}}{2} - 0)}^{2}} = \sqrt{k^{2} + \frac{k^{6}}{4}} = \sqrt{\frac{4 k^{2} + k^{6}}{4}} = \frac{k \cdot \sqrt{k^{4} + 4}}{2} \end{array}$

Der Abstand der beiden Punkte beträgt $d = \frac{k \cdot \sqrt{k^{4} + 4}}{2} LE$ .
(3) Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen: Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $\int_{- 1}^{1} f_{k} (x) d x$ den Inhalt der betrachteten Fläche an
Gegeben $𝑓_{𝑘} (𝑥) = \frac{1}{2 k} \cdot x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$ und $𝑘 \in ℝ^{+}$ .
Der Funktionsterm ist als Produkt von drei Faktoren gegeben, die alle nur nicht negative Werte annehmen: $\frac{1}{2 k} > 0$ , weil $k > 0$ ist; $x^{2}$ und $(x - 2 k)^{2}$ sind quadratische Terme und damit größer null. Folglich gibt es keine Flächenstücke unterhalb der $x$ -Achse, womit die Aussage richtig ist.
(4) Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: Für $k > 3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als $k^{5} [FE]$
Gegeben: $f_{k} (x) = \frac{1}{2 k} \cdot x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$ und $h_{k} (x) = \frac{k}{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$ .
$f_{k} (x) = h_{k} (x)$
$(1) : \frac{1}{2 k} \cdot x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2} = \frac{k}{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$
$(x - 2 k)^{2} = 0$ hat die Lösung $x = 2 k$ .
Teilt man für $x \neq 2 k$ die Gleichung $(1)$ durch $(x - 2 k)^{2}$ erhältst Du die Gleichung
$\frac{1}{2 k} \cdot x^{2} = \frac{k}{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{k}{2} \cdot 2 k = k^{2} \Rightarrow x = - k \lor x = k$
Damit hat Gleichung $(1)$ die drei Lösungen $x = - k \lor x = k \lor x = 2 k$ .
Dann folgt: $\int_{- k}^{k} (f_{k} (x) - h_{k} (x)) d x = - \frac{14}{5} k^{4}$ und $\int_{k}^{2 k} (f_{k} (x) - h_{k} (x)) d x = \frac{1}{10} k^{4}$ (CAS)
Der Inhalt der Fläche beträgt $\frac{14}{5} k^{4} + \frac{1}{10} k^{4} = \frac{28 + 1}{10} k^{4} = \frac{29}{10} k^{4}$ Flächeneinheiten.
$\frac{29}{10} k^{4} < k^{5}$ gilt, wenn $k > \frac{29}{10}$ . Daher ist die Aussage für alle $k > 3$ richtig.
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(1)
$f_{k} (x) = x^{2} \cdot (x - 2 k)^{2}$ , bestimme die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt.
(2)
Betrachte die drei Terme, aus denen $𝑓_{𝑘} (𝑥)$ besteht und untersuche, ob sie größer oder kleiner null sind.
Was kann dann über $𝑓_{𝑘} (𝑥)$ ausgesagt werden?
(3)
Finde die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes und berechne ihren Abstand mit dem Satz des Pythagoras.
(4)
Löse die Gleichung $f_{k} (x) = h_{k} (x)$ . Du erhältst drei Lösungen $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ .
Berechne dann die Integrale $\int_{x_{1}}^{x_{2}} (f_{k} (x) - h_{k} (x)) d x$ und $\int_{x_{2}}^{x_{3}} (f_{k} (x) - h_{k} (x)) d x$ .
Für den Flächeninhalt addiere die Beträge der beiden Integrale.
Vergleiche den Flächeninhalt mit $k^{5}$ .
Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet. Für ein bestimmtes Regenereignis wird die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken durch die in $ℝ$ definierte Funktion $r$ mit $r (x) = e^{x} \cdot f_{2,5} (x)$ für $0 \leq x \leq 5$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden, die seit Beginn des Zuflusses in das Auffangbecken vergangen ist, und $r (x)$ die momentane Zuflussrate in $\frac{m^{3}}{h}$ (Kubikmeter pro Stunde). Die Funktion $f_{2,5}$ ist die Funktion der Schar aus Teilaufgabe a) mit $k = 2,5$ .
(1) Berechnen Sie die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum. [4 BE]
(2) Im Intervall $[0; 5]$ besitzt $r$ genau zwei Wendestellen $x_{0}$ und $x_{1}$ . Außerdem gilt $r^{'} (x_{0}) \approx 100,5$ und $r^{'} (x_{1}) \approx - 240,2$ sowie $r^{'} (0) = 0$ und $r^{'} (5) = 0$ .
Beschreiben Sie die Bedeutung des Wertes $r^{'} (x_{0})$ , die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang. [3 BE]
(3) Die Abbildung zeigt den Graphen von $r$ mit einigen Eintragungen.

Erläutern Sie, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $\int_{4}^{5} r (x) d x < 120$ . Interpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang. [4 BE]
(4) Zu Beginn des Zuflusses ist das Auffangbecken bereits mit $186 m^{3}$ Regenwasser gefüllt.
Nach dreieinhalb Stunden wird eine Pumpe eingeschaltet. Diese pumpt bis zum Ende des Modellierungszeitraums Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $250 \frac{m^{3}}{h}$ ab. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben.
Geben Sie einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt.
[3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
(1) Berechne die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum
Die absoluten Extrema von $r$ im Intervall $[0; 5]$ können nur an den Nullstellen von $r^{'}$ oder an den Randstellen auftreten. $r^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- (\sqrt{41} - 1)}{2} \approx - 2,70 \lor x = 0 \lor x = \frac{\sqrt{41} + 1}{2} \approx 3,70 \lor x = 5$ .
Die negative Lösung entfällt, da $r$ nur für $0 \leq x \leq 5$ definiert ist.
Außerdem gilt: $r (0) = 0, r (\frac{\sqrt{41} + 1}{2}) \approx 187$ und $r (5) = 0$ .
Die kleinste momentane Zuflussrate beträgt somit $0 \frac{m^{3}}{h}$ , die größte etwa $187 \frac{m^{3}}{h}$ .
(2) Beschreibe die Bedeutung des Wertes $r^{'} (x_{0})$ , die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang.
Im Wendepunkt an der Stelle $x_{0}$ hat die Steigung der Funktion ihren Extremwert, ist also entweder am stärksten steigend oder am stärksten fallend.
Gegeben ist $r ′ (𝑥_{0}) \approx 100,5$ , d.h. die momentane Zuflussrate steigt im betrachteten Zeitraum mit etwa $100,5 \frac{m^{3}}{h}$ am stärksten zu dem Zeitpunkt an, der durch $x_{0}$ beschrieben wird.
(3) Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $\int_{4}^{5} r (x) d x < 120$ Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang
In der Abbildung hat das Rechteck mit $120$ einen größeren Inhalt als die
schraffierte Fläche.
Die nicht schraffierte graue Fläche hat einen größeren Inhalt als der Teil der schraffierten Fläche, der nicht zum Rechteck gehört.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Flächenvergleich
Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang
In der letzten Stunde des betrachteten Zeitraums sind weniger als $120 m^{3}$
Regenwasser in das Auffangbecken geflossen.
(4) Gib einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt
Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t = 0$ : $186 m^{3}$ .
Zufluss in das Auffangbecken von $t = 0$ bis $t = x$ : $\int_{0}^{x} r (t) d t$ .
$250 \frac{m^{3}}{h}$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in $\frac{m^{3}}{h}$ .
$(x - 3,5)$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe.
$- 250 \cdot (x - 3,5)$ ist das abgepumpte Wasservolumen in $m^{3}$ nach dem Einschalten der Pumpe.
Damit ergibt sich der folgende Term:
Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t = 0$ : $186 m^{3}$ .
Zufluss in das Auffangbecken von $t = 0$ bis $t = x$ : $\int_{0}^{x} r (t) d t$ .
$250 \frac{m^{3}}{h}$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in $\frac{m^{3}}{h}$ .
$(x - 3,5)$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe.
$- 250 \cdot (x - 3,5)$ ist das abgepumpte Wasservolumen in $m^{3}$ nach dem Einschalten der Pumpe.
Damit ergibt sich der folgende Term: $186 + \int_{0}^{x} r (t) d t - 250 \cdot (x - 3,5)$
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(1)
Die absoluten Extrema von $r$ im Intervall $[0; 5]$ können nur an den Nullstellen von $r^{'}$ oder an den Randstellen auftreten.
Löse die Gleichung $r^{'} (x) = 0$ .
(2)
Im Wendepunkt an der Stelle $x_{0}$ hat die Steigung der Funktion ihren Extremwert, ist also entweder am stärksten steigend oder am stärksten fallend.
(3)
Vergleiche die Rechteckfläche mit der schraffierten Fläche.
Was wird mit dem Integral in der Zeit von $4$ bis $5$ Stunden berechnet.
Wie groß ist dieser Wert?
(4)
Der gesuchte Term besteht aus drei Teilen:
Füllmenge des Auffangbeckens zur Zeit $t = 0$ .
Zufluss in das Auffangbecken von $t = 0$ bis $t = x$ .
$250 \frac{m^{3}}{h}$ beschreibt die konstante Entnahmerate der Pumpe in $\frac{m^{3}}{h}$ und $(x - 3,5)$ ist die Zeit nach dem Einschalten der Pumpe. Beachte, dass das Wasser abgepumpt wird.

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(1) Begründe, dass fk für jeden Wert von k>0 genau zwei Nullstellen hat, und gib diese an

(2) Der Hochpunkt von Gk hat zu den beiden Tiefpunkten von Gk denselben Abstand. Berechne diesen Abstand

(3) Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen: Für jeden Wert von k gibt der Term ∫−11fk(x)dx den Inhalt der betrachteten Fläche an

(4) Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: Für k>3 ist der Inhalt der Fläche kleiner als k5[FE]

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(1) Berechne die größte und die kleinste momentane Zuflussrate im betrachteten Zeitraum

(2) Beschreibe die Bedeutung des Wertes r′(x0), die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang.

(3) Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: ∫45r(x)dx<120 Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang

Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang

(4) Gib einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt

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(1) Begründe, dass $f_{k}$ für jeden Wert von $k > 0$ genau zwei Nullstellen hat, und gib diese an

(2) Der Hochpunkt von $G_{k}$ hat zu den beiden Tiefpunkten von $G_{k}$ denselben Abstand. Berechne diesen Abstand

(3) Beurteile die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen: Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $\int_{- 1}^{1} f_{k} (x) d x$ den Inhalt der betrachteten Fläche an

(4) Untersuche, ob die folgende Aussage richtig ist: Für $k > 3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als $k^{5} [FE]$

(2) Beschreibe die Bedeutung des Wertes $r^{'} (x_{0})$ , die sich aus diesen Informationen ergibt, im Sachzusammenhang.

(3) Erläutere, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $\int_{4}^{5} r (x) d x < 120$ Interpretiere diese Aussage im Sachzusammenhang