Teil B: Vektorielle Geometrie

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B3 Aufgabenstellung
Betrachtet wird ein gerades Prisma
mit den Eckpunkten $A, B, C, D, E$
und $F$ . Seine Grundfläche ist das
Dreieck $A B C$ .
$𝐴 (- 2 | 0 | 0)$ , $𝐵 (2 | 0 | 0)$ , $𝐶 (0 | 8 | 0)$ ,
$𝐷 (- 2 | 0 | 4)$ , $𝐸 (2 | 0 | 4)$ und $𝐹 (0 | 8 | 4)$ .
Abbildung 1
1. Abbildung 1 zeigt die Kante $B C$ des Prismas.
  Zeichnen Sie das Prisma in Abbildung 1 ein und berechnen Sie das Volumen des Prismas. [5 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Zeichne das Prisma in Abbildung 1 ein und berechne das Volumen des Prismas
  Prisma
  Das Dreieck $A B C$ ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $A B$ und der Höhe $O C$ .
  $\Rightarrow A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$
  Die Höhe des Prismas ist $h = 4$ .
  $V = A_{△} \cdot h = 16 \cdot 4 = 64$
  Das Volumen des Prismas beträgt $64 VE$ .
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  Teil 1
  Zeichne die gegebenen Punkte in die Abbildung ein und verbinde sie zu einem Prisma.
  Teil 2
  Das Dreieck $A B C$ ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $A B$ und der Höhe $O C$ . Die Höhe des Prismas ist $h = 4$ $\Rightarrow$ $V = A_{△} \cdot h$
2. Das Dreieck $D E F$ liegt in der Ebene $L$ .
  (1) Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Parameterform an. [2 BE]
  (2) Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ am Eckpunkt $D$ .
  [2 BE]
  (3) Begründen Sie, dass das Dreieck $D E F$ parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt. [1 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
  (1) Gib eine Gleichung von $L$ in Parameterform an
  $L_{D E F} : \vec{x} = \vec{O D} + r \cdot \vec{D E} + s \cdot \vec{D F} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 - (- 2) \\ 0 - 0 \\ 4 - 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 - (- 2) \\ 8 - 0 \\ 4 - 4 \end{array})$
  $L_{B C E} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 0 \end{array})$
  Eine Gleichung von $L$ in Parameterform lautet $L_{B C E} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 0 \end{array})$ .
  (2) Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ am Eckpunkt $D$
  Für den Innenwinkel $δ$ am Eckpunkt $D$ gilt:
  $\cos (δ) = \frac{\vec{D E} \circ \vec{D F}}{| \vec{D E} | \cdot | \vec{D F} |} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 0 \end{array})}{\sqrt{4^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 8^{2} + 0^{2}}} = \frac{8}{4 \cdot \sqrt{68}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$
  $\Rightarrow$ $δ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{17}}) \approx 75,96 °$
  Die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ am Eckpunkt $D$ beträgt rund $75,96 °$ .
  (3) Begründe, dass das Dreieck $D E F$ parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt
  Das Dreieck $D E F$ liegt parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene, da bei allen drei Eckpunkten die $x_{3}$ -Koordinate übereinstimmt ( $x_{3} = 4$ ).
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  (1)
  Berechne $L_{D E F} : \vec{x} = \vec{O D} + r \cdot \vec{D E} + s \cdot \vec{D F}$ .
  (2)
  Berechne $\cos (δ) = \frac{\vec{D E} \circ \vec{D F}}{| \vec{D E} | \cdot | \vec{D F} |}$
  (3)
  Betrachte die $x_{3}$ -Koordinaten der drei Eckpunkte.
3. Im Folgenden wird die Gerade $𝑔$ mit der Gleichung
  $\vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}); t \in ℝ$ betrachtet.
  Des Weiteren wird der Punkt $𝐹$ durch den Punkt $𝐹_{𝑡} (0 | 𝑡 | 12 - 𝑡)$ mit $0 < 𝑡 \leq 8$ ersetzt.
  Für jeden Wert von $𝑡$ liegt der Punkt $𝐹_{𝑡}$ auf der Gerade $𝑔$ (vgl. Abbildung 2).
  Mit $𝑀$ wird der Mittelpunkt der Basis $D E$ des gleichschenkligen Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ bezeichnet.
  Abbildung 2
  Zeigen Sie rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $M F_{t}$ senkrecht auf der Gerade $𝑔$ steht. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $M F_{t}$ senkrecht auf der Geraden $𝑔$ steht
  Es sind $M (0 | 0 | 4)$ und $𝐹_{4} (0 | 4 | 12 - 4) \Rightarrow 𝐹_{4} (0 | 4 | 8)$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{M F_{4}} = \vec{O F_{4}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 8 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
  $\vec{M F_{4}} \circ {\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = 0 + 4 - 4 = 0 \Rightarrow \vec{M F_{4}} ⟂ g$
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  Gib $F_{4}$ und $\vec{M F_{4}}$ an.
  Zeige $\vec{M F_{4}} \circ {\vec{u}}_{g} = 0$ .
4. Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ für $𝑡 = 4$ am kleinsten ist. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ für $𝑡 = 4$ am kleinsten ist
  Für jedes $t$ ist $D E$ die Basis und $M F_{t}$ ist die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks $E F_{t} D$ . Für $t = 4$ ist $\vec{M F_{4}} ⟂ g$ (wie in Aufgabe c) gezeigt wurde).
  Das Dreieck $E F_{t} D$ besitzt für diesen $t$ -Wert die kleinste Höhe (senkrechter Abstand) und damit auch den kleinsten Flächeninhalt.
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  Es gilt: für $t = 4$ ist $\vec{M F_{4}} ⟂ g$ .
  Das Dreieck $E F_{t} D$ besitzt für diesen $t$ -Wert die kleinste Höhe.

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Teil B: Vektorielle Geometrie

B3 Aufgabenstellung

Zeichne das Prisma in Abbildung 1 ein und berechne das Volumen des Prismas

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(1) Gib eine Gleichung von L in Parameterform an

(2) Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks DEF am Eckpunkt D

(3) Begründe, dass das Dreieck DEF parallel zur x1x2-Ebene liegt

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Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke MFt senkrecht auf der Geraden 𝑔 steht

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Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 𝐸𝐹𝑡𝐷 für 𝑡=4 am kleinsten ist

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(1) Gib eine Gleichung von $L$ in Parameterform an

(2) Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ am Eckpunkt $D$

(3) Begründe, dass das Dreieck $D E F$ parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt

Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $M F_{t}$ senkrecht auf der Geraden $𝑔$ steht

Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ für $𝑡 = 4$ am kleinsten ist