Teil B: Vektorielle Geometrie - lernen mit Serlo!

B3 Aufgabenstellung

Betrachtet werden die Punkte $𝐴 (2 | 0 | 0)$ , $𝐵 (- 2 | 0 | 0), 𝐶 (- 2 | 0 | 3), 𝐷 (2 | 0 | 3), 𝑆 (0 | - 5 | 0),$

$𝐸_{𝑘} (0 | 𝑘 | 0)$ und $𝐹_{𝑘} (0 | 𝑘 | 30 - 3 𝑘)$ mit $0 < 𝑘 \leq 10$ .

Die Abbildung zeigt einen

zusammengesetzten Körper, der aus der

Pyramide $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$ und einem Körper

$𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸_{𝑘} 𝐹_{𝑘}$ besteht.

Das Viereck $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ ist ein Rechteck.
Untersuchen Sie, ob $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ auch ein Quadrat ist.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$ . [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Untersuche, ob $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ auch ein Quadrat ist
Wegen $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ sind nicht alle Seiten gleich lang und somit ist $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ kein Quadrat.
Berechne das Volumen der Pyramide $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$
$V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot | \vec{A B} | \cdot | \vec{B C} | \cdot | \vec{O S} | = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 20$
Das Volumen der Pyramide $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$ beträgt $20 VE$ .
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Teil 1
Berechne $\vec{A B}$ und $\vec{B C}$ und vergleiche die Beträge dieser beiden Vektoren.
Teil 2
Berechne $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .
Jeder Punkt $𝐹_{𝑘}$ liegt auf der Gerade $𝑔$ (vgl. Abbildung).
Geben Sie den Ortsvektor eines Punkts auf $𝑔$ an und zeigen Sie, dass $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
ein Richtungsvektor von $𝑔$ ist. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
Gib den Ortsvektor eines Punkts auf $𝑔$ an
Gegeben: $𝐹_{𝑘} (0 | 𝑘 | 30 - 3 𝑘)$
Für $k = 1$ erhältst Du $F_{1} (0 | 1 | 30 - 3) = F_{1} (0 | 1 | 27)$
Der Ortsvektor eines Punkts auf $𝑔$ ist z.B. der Vektor $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 27 \end{array})$ .
Zeige, dass $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ ein Richtungsvektor von $𝑔$ ist
Für $k = 2$ erhältst Du $F_{2} (0 | 2 | 30 - 3 \cdot 2) = F_{2} (0 | 2 | 24)$
$\vec{F_{1} F_{2}} = \vec{O F_{2}} - \vec{O F_{1}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 24 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 27 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ ist ein Richtungsvektor von $g$ .
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Teil 1
Für $k = 1$ erhältst Du $F_{1}$ . Gib den zugehörigen Ortsvektor an.
Teil 2
Für $k = 2$ erhältst Du $F_{2}$ . Berechne $\vec{F_{1} F_{2}}$ . Vergleiche mit dem gegebenen Richtungsvektor.
Begründen Sie, dass die $𝑥 𝑧$ -Ebene für keinen Wert von $𝑘$ eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Begründe, dass die $𝑥 𝑧$ -Ebene für keinen Wert von $𝑘$ eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist
Der Körper $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$ ist eine Pyramide mit der Höhe $5$ .
Nur für $k = 10$ ist $F_{10} (0 | 10 | 0) = E_{10} (0 | 10 | 0)$ und der Körper $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸_{10} 𝐹_{10}$ ist eine Pyramide. Diese Pyramide besitzt die Höhe $10$ .
Die Höhen der beiden Körper $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$ und $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸_{10} 𝐹_{10}$ sind unterschiedlich groß.
Daher ist der zusammengesetzte Körper nicht symmetrisch bezüglich der $𝑥 𝑧$ -Ebene.
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Der Körper $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$ ist eine Pyramide mit der Höhe $5$ .
Für $k = 10$ ist $F_{10} (0 | 10 | 0) = E_{10} (0 | 10 | 0)$ und der Körper $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸_{10} 𝐹_{10}$ ist eine Pyramide. Diese Pyramide besitzt die Höhe $10$ .
Kann dann die $𝑥 𝑧$ -Ebene Symmetrieebene sein?
Die Punkte $𝐶, 𝐷$ und $𝑆$ liegen in der Ebene $𝐿$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $𝐿$ in Koordinatenform.
Ermitteln Sie den Wert von $𝑘$ , für den der Eckpunkt $𝐹_{𝑘}$ ebenfalls in $𝐿$ liegt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Bestimme eine Gleichung von $𝐿$ in Koordinatenform
Berechne den Normalenvektor der Ebene $L$ .
Es muss gelten:
$\vec{C D} \circ \vec{n} = 0$ und $\vec{C S} \circ \vec{n} = 0$
$\vec{C D} = \vec{O D} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{C S} = \vec{O S} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ - 3 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0 \Rightarrow 4 n_{1} = 0 \Rightarrow n_{1} = 0$
und $(\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) = 0 \Rightarrow 2 n_{1} - 5 n_{2} - 3 n_{3} = 0$
Mit $n_{1} = 0$ folgt: $- 5 n_{2} - 3 n_{3} = 0 \Rightarrow - 5 n_{2} = 3 n_{3}$
$n_{3}$ ist frei wählbar, z.B. $n_{3} = 5 \Rightarrow - 5 n_{2} = 3 \cdot 5 = 15 \Rightarrow n_{2} = \frac{15}{- 5} = - 3$
$\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 5 \end{array}) \Rightarrow L : - 3 y + 5 z = d$
Setze $S (0 | - 5 | 0)$ in $L$ ein:
$- 3 \cdot (- 5) + 0 = d \Rightarrow d = 15 \Rightarrow L : - 3 y + 5 z = 15$
Eine Gleichung von $𝐿$ in Koordinatenform lautet $L : - 3 y + 5 z = 15$ .
Ermittle den Wert von $𝑘$ , für den der Eckpunkt $𝐹_{𝑘}$ ebenfalls in $𝐿$ liegt
Setze $F_{k} (0 | k | 30 - 3 k)$ in $L$ ein:
$- 3 \cdot k + 5 \cdot (30 - 3 k) = 15 \Rightarrow - 3 k + 150 - 15 k = 15 \Rightarrow - 18 k = - 135 \Rightarrow k = 7,5$
Für $k = 7,5$ liegt der Eckpunkt $𝐹_{𝑘}$ ebenfalls in $𝐿$ .
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Teil 1
Berechne den Normalenvektor der Ebene $L$ .
Es muss gelten: $\vec{C D} \circ \vec{n} = 0$ und $\vec{C S} \circ \vec{n} = 0 \Rightarrow \vec{n}$
Mache den Ansatz $L : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = d$
Setze $S$ in $L$ ein und bestimme $d$ .
Teil 2
Setze $F_{k} (0 | k | 30 - 3 k)$ in $L$ ein und bestimme $k$ .
Im Dreieck $𝐷 𝐹_{𝑘} 𝐶$ wird der Innenwinkel im Punkt $𝐹_{𝑘}$ betrachtet.
Ermitteln Sie denjenigen Wert von $𝑘$ , für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutern Sie Ihren Lösungsweg. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Ermittle denjenigen Wert von $𝑘$ , für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutere Deinen Lösungsweg
Das Dreieck $𝐷 𝐹_{𝑘} 𝐶$ ist gleichschenklig, mit der Basis $C D$ .
Mit $𝑀$ wird der Mittelpunkt von $C D$ bezeichnet.
$\vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O D} + \vec{O C}) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array})$
Der Winkel an der Spitze ist umso größer, je kleiner die Höhe $| \vec{M F_{k}} |$ des Dreiecks ist. Diese Höhe wird minimal, wenn der Vektor $\vec{M F_{k}}$ senkrecht zum Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ der Geraden $𝑔$ steht.
Berechne $\vec{M F_{k}} = \vec{O F_{k}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ 30 - 3 k \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ 27 - 3 k \end{array})$
Verlange, dass $\vec{M F_{k}}$ und $\vec{u}$ senkrecht aufeinander stehen:
$\vec{M F_{k}} \circ \vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ 27 - 3 k \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) = 0 \Rightarrow k + (27 - 3 k) \cdot (- 3) = 0 \Rightarrow k - 81 + 9 k = 0 \Rightarrow 10 k = 81 \Rightarrow k = 8,1$

Für $k = 8,1$ ist die Größe dieses Winkels maximal.
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Maximaler Winkel $β$ an der Spitze für $k = 8,1$
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Das Dreieck $𝐷 𝐹_{𝑘} 𝐶$ ist gleichschenklig, mit der Basis $C D$ .
Mit $𝑀$ wird der Mittelpunkt von $C D$ bezeichnet.
Der Winkel an der Spitze ist umso größer, je kleiner die Höhe $| \vec{M F_{k}} |$ des Dreiecks ist. Diese Höhe wird minimal, wenn der Vektor $\vec{M F_{k}}$ senkrecht zum Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ der Geraden $𝑔$ steht.

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B3 Aufgabenstellung

Untersuche, ob 𝐴𝐵𝐶𝐷 auch ein Quadrat ist

Berechne das Volumen der Pyramide 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆

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Gib den Ortsvektor eines Punkts auf 𝑔 an

Zeige, dass (01−3) ein Richtungsvektor von 𝑔 ist

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Begründe, dass die 𝑥𝑧-Ebene für keinen Wert von 𝑘 eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist

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Bestimme eine Gleichung von 𝐿 in Koordinatenform

Ermittle den Wert von 𝑘, für den der Eckpunkt 𝐹𝑘 ebenfalls in 𝐿 liegt

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Ermittle denjenigen Wert von 𝑘, für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutere Deinen Lösungsweg

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, ob $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ auch ein Quadrat ist

Berechne das Volumen der Pyramide $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑆$

Gib den Ortsvektor eines Punkts auf $𝑔$ an

Zeige, dass $(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ ein Richtungsvektor von $𝑔$ ist

Begründe, dass die $𝑥 𝑧$ -Ebene für keinen Wert von $𝑘$ eine Symmetrieebene des zusammengesetzten Körpers ist

Bestimme eine Gleichung von $𝐿$ in Koordinatenform

Ermittle den Wert von $𝑘$ , für den der Eckpunkt $𝐹_{𝑘}$ ebenfalls in $𝐿$ liegt

Ermittle denjenigen Wert von $𝑘$ , für den die Größe dieses Winkels maximal ist, und erläutere Deinen Lösungsweg