Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks $\text{𝐀𝐁𝐂}$.

Berechnen des Radius $|\overline{\mathrm{M}\mathrm{B}}|$.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }$

Auflösen der Formel nach $\text{r}$.

$\mathrm{r}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}}{\mathrm{\pi }}}}\Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{113,04}}{\mathrm{3,14}}}}$

$\mathrm{r}=6\text{ cm}$

Berechnen der Längen von $|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|$.

$|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|:|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=1:2\Rightarrow |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=2\cdot |\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|$

Wir können jetzt folgende Gleichung aufstellen:

$|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|+2\cdot |\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|=6\Rightarrow 3\cdot |\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|=6$

$|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|=2\text{ cm}\Rightarrow |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=4\text{ cm}$(siehe Aufgabenstellung)

Berechnen der Längen der Katheten $|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|$ und $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|$ mithilfe des Kathetensatzes.

Der Kathetensatz lautet:

${\mathrm{a}}^2=\mathrm{p}\cdot \mathrm{c}{\mathrm{b}}^2=\mathrm{q}\cdot \mathrm{c}$

Angewandt auf das Dreieck $\text{ABC}$:

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}{|}^2=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|\Rightarrow |\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=\sqrt{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}|}}|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|-|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|=12-4$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|=8\text{ cm}$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=\sqrt{12\cdot 8}\Rightarrow |\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=\sqrt{96}$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|\approx \mathrm{9,8}\text{ cm}$

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}{|}^2=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|\Rightarrow |\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\sqrt{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}|}}|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|-|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|$

$|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=12-8$

$|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=4\text{ cm}$

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\sqrt{12\cdot 4}\Rightarrow |\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\sqrt{48}$

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|\approx \mathrm{6,9}\text{ cm}$

Berechnen des Umfangs des Dreiecks $\text{ABC}$.

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|+|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|+|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=12+\mathrm{6,9}+\mathrm{9,8}$

$\underline{\underline{{\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\mathrm{28,7}\text{ cm}}}$

Der Umfang des Dreiecks $\text{ABC}$ beträgt: $\mathrm{28,7}\text{ cm}$

Ersetzen des Platzhalters so, dass sich eine korrekte Aussage ergibt.

Der Kosinus im rechtwinkligem Dreieck ist definiert als:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Für das Dreieck $\text{ABC}$ ist das dann:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|}{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|}}$ oder $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|}{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|}}$