Teil B-Aufgabengruppe II

Rechnerisches Bestimmen der Funktionsgleichung von ${\text{𝐠}}_{\text{𝟏}}$.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

$(\mathrm{P})-2=0+\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{t}=-2$einsetzen von $\text{t=-2}$ in $\text{(Q)}$

$(\mathrm{Q})\mathrm{1,5}=7\mathrm{m}-2$

$7\mathrm{m}=\mathrm{3,5}\Rightarrow \mathrm{m}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}}{7}}$

$\mathrm{m}=\mathrm{0,5}$

Funktionsgleichung von ${\text{g}}_{\text{1}}$ lautet dann:

$\mathrm{y}=\mathrm{0,5}\mathrm{x}-2$

Überprüfen, ob der Punkt $\text{𝐑}$ auf der Geraden ${\text{𝐠}}_{\text{𝟐}}$ liegt.

$-\mathrm{5,5}\stackrel{?}{=}{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-2)-\mathrm{5,5}$

$\underline{\underline{-\mathrm{5,5}\ne -6}}$

Der Punkt $\text{R}$ liegt nicht auf der Geraden ${\mathrm{g}}_2$.

Begründen der Aussage.

Stehen Geraden senkrecht aufeinander dann gilt:

${\mathrm{m}}_2\cdot {\mathrm{m}}_3=-1$

Bekannte Größen:

${\mathrm{m}}_2={\displaystyle \frac{1}{4}};{\text{ m}}_3=-4$

${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-4)=-1$

Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts $\text{𝐒}$ der Geraden ${\text{𝐠}}_{\text{𝟐}}$ und ${\text{𝐠}}_{\text{𝟑}}$.

${\mathrm{g}}_2:\mathrm{y}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{x}-\mathrm{5,5}$

${\mathrm{g}}_3:\mathrm{y}=-4\mathrm{x}+3$

Einsetzen des $\text{x}$-Wertes in z. B. ${\mathrm{g}}_2$ (du kannst den x-Wert auch in ${\mathrm{g}}_3$ einsetzen} und berechnen von y.

$\mathrm{y}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 2-\mathrm{5,5}$

$\mathrm{y}=\mathrm{0,5}-\mathrm{5,5}$

$\text{𝐲}=\text{-𝟓}$

Somit ist der Schnittpunkt der Geraden ${\mathrm{g}}_2$ und ${\mathrm{g}}_3$: $\mathrm{S}(2|-5)$

Berechnen der $\text{𝐱}$-Koordinate des Schnittpunktes $\text{𝐍}$.

Die $\text{x}$-Koordinate des Schnittpunktes $\text{N}$ von ${\mathrm{g}}_4$mit der x-Achse ist:

$\text{x}=-3$

Mögliche Funktionsgleichung einer Geraden ${\text{𝐠}}_{\text{𝟓}}$.

Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\mathrm{x}+\mathrm{t}$

Die Gerade ${\mathrm{g}}_3$ hat keinen Punkt gemeinsam mit der Geraden ${\mathrm{g}}_5$, wenn gilt:

${\mathrm{m}}_3={\mathrm{m}}_5$ und ${\mathrm{t}}_3\ne {\mathrm{t}}_5$

Eine solche Funktionsgleichung der Geraden ${\mathrm{g}}_5$ist z. B.:

$\mathrm{y}=-4\mathrm{x}+4$

Zeichnen der Geraden ${\text{𝐠}}_{\text{𝟏}}$und ${\text{𝐠}}_{\text{𝟑}}$ in ein Koordinatensystem.

Berechnen des Umfangs des Dreiecks $\text{𝐙𝐀’𝐁’}$.

Berechnen Seitenlänge $\left|\overline{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|$

$\left|\overline{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|=\left|\overline{\mathrm{Z}\mathrm{A}}\right|\cdot \mathrm{1,5}$

$\left|\overline{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|=16\cdot \mathrm{1,5}$

$\left|\overline{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|=24\text{ cm}$

Berechnen Seitenlänge $\left|\overline{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|$

$\left|\overline{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|=\left|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right|\cdot \mathrm{1,5}$

$\left|\overline{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|=10\cdot \mathrm{1,5}$

$\left|\overline{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|=15\text{ cm}$

Berechnen Seitenlänge $\left|\overline{\mathrm{Z}\mathrm{B}}\right|$

${\displaystyle \frac{16}{8}}={\displaystyle \frac{\left|\overline{\mathrm{Z}\mathrm{B}}\right|}{7}}$1. Strahlensatz (V-Figur)

$\left|\overline{\mathrm{Z}\mathrm{B}}\right|={\displaystyle \frac{112}{8}}$

$\left|\overline{\mathrm{Z}\mathrm{B}}\right|=14\text{ cm}$

Umfang Dreieck $\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=\left|\overline{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|+\left|\overline{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|+\left|\overline{\mathrm{Z}{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=24+15+14+7$

$\underline{\underline{{\mathrm{U}}_{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=60\text{ cm}}}$

Der Umfang des Dreiecks $\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$beträgt: ${\mathrm{U}}_{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=60\text{ cm}$.

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $\text{𝐙𝐀𝐁}$.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}={\mathrm{1,5}}^2\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{A}\mathrm{B}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{A}\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}}{\mathrm{2,25}}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{A}\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{\mathrm{155,88}}{\mathrm{2,25}}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{A}\mathrm{B}}=\mathrm{69,28}{\text{ cm}}^2}}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\mathrm{ZAB}$ beträgt: ${\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{A}\mathrm{B}}=\mathrm{69,28}{\text{ cm}}^2$.

Berechnen der Masse des Medikamentes.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\mathrm{N}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}}$

Folgende Größen sind bekannt:

${\mathrm{N}}_0=90\mathrm{m}\mathrm{g}$

$\mathrm{a}=\mathrm{0,5}$(es handelt sich hier um die Halbwertszeit)

$\mathrm{t}={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$d.h., $6$ Stunden entsprechen $2$ "Halbwertzeiten."

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

$\mathrm{N}(2)=90\cdot {\mathrm{0,5}}^2$

$\mathrm{N}(2)=90\cdot \mathrm{0,25}$

$\underline{\underline{\mathrm{N}(2)=\mathrm{22,5}\mathrm{m}\mathrm{g}}}$

Um $13:00$ sind noch $\mathrm{22,5}\text{mg}$ des Wirkstoffes im Körper vorhanden.

Berechnen, nach wie vielen Stunden noch $\text{𝟓,𝟕}\text{𝐦𝐠}$ des Wirkstoffs im Körper vorhanden sind.

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})=\mathrm{5,7}\mathrm{m}\mathrm{g}$

${\mathrm{N}}_0=90\mathrm{m}\mathrm{g}$

$\text{a}=\mathrm{0,5}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel von 3a.).

$\mathrm{5,7}=90\cdot {\mathrm{0,5}}^{\mathrm{t}}\Rightarrow {\mathrm{0,5}}^{\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,7}}{90}}$

$\mathrm{t}={\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{g}(\mathrm{5,7})-\mathrm{l}\mathrm{g}(90)}{\mathrm{l}\mathrm{g}(\mathrm{0,5})}}$

$\mathrm{t}={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,1984}}{-\mathrm{0,3010}}}$

$\mathrm{t}\approx 4$

$\text{t}$entspricht ungefähr $4$ "Halbwertszeiten," um die Stunden zu erhalten multipliziere $4$ mit 3, da die Halbwertszeit $3$ Stunden entspricht.

$4\cdot 3=12\text{Stunden}$

Nach $12\text{Stunden}$ sind noch $\mathrm{5,7}\text{mg}$ des Wirkstoffes im Körper enthalten.

Berechnen der Ausgangsmasse in Milligramm.

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})=\mathrm{21,9}\mathrm{m}\mathrm{g}$

$\text{a=0,5}$

$\mathrm{t}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$"Halbwertzeiten"

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel von 3a.).

$\mathrm{21,9}={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{0,5}}^3\Rightarrow {\mathrm{N}}_0={\displaystyle \frac{\mathrm{21,9}}{\mathrm{0,125}}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{N}}_0=\mathrm{175,2}\mathrm{m}\mathrm{g}}}$

Die Ausgangsmasse des Wirkstoffes beträgt: $\mathrm{175,2}\mathrm{m}\mathrm{g}$.

Zeichnen des Baumdiagramms.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass zweimal nacheinander eine $\text{𝟓}$ gedreht wird.

Anwenden der 1. Pfadregel.

$\mathrm{P}(5)={\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}$

$\mathrm{P}(5)={\displaystyle \frac{1}{64}}$

Die Wahrscheinlichkeit, zweimal nacheinander eine $5$ zu drehen, beträgt:

${\displaystyle \frac{1}{64}}$ oder $\mathrm{0,0156}$ oder $\mathrm{1,56}\%$.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für einen „kleinen Gewinn“.

Damit man auf die Summe $9$ kommt, muss man eine $4$ und eine $5$ drehen.

Also:

$1.$ Drehen: $42.$ Drehen: $5$

$1.$ Drehen: $52.$ Drehen: $4$

Die Wahrscheinlichkeit ist dann:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}9}={\displaystyle \frac{2}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{8}}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}9}={\displaystyle \frac{2}{64}}+{\displaystyle \frac{2}{64}}\Rightarrow {\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}9}={\displaystyle \frac{4}{64}}$

Kürzen des Bruchs.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}9}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen "kleinen Gewinn"beträgt:

${\displaystyle \frac{1}{16}}$ oder $\mathrm{0,0625}$ oder $\mathrm{6,25}\%$.

Umformen der Normalform in die Scheitelform.

Der Scheitelpunkt der Parabel ${\mathrm{p}}_1$ ist dann:${\mathrm{S}}_1(3|-2)$

Berechnen der Funktionsgleichung von ${\text{𝐩}}_{\text{𝟐}}$ in der Normalform.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\text{𝐚}=-1.$

Wir setzen die Koordinaten der Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$ in die allgemeine Form der quadratischen Funktion ein und berechnen die Werte für $\text{𝐛}$ und $\text{𝐜}$.

$(\mathrm{A}):2=-1\cdot (3{)}^2+3\mathrm{b}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{c}=11-3\mathrm{b}$

$(\mathrm{B}):-6=-1\cdot (-1{)}^2-\mathrm{b}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{c}=\mathrm{b}-5$

Gleichsetzen von $\text{A}$ und $\text{B}$ über $\text{c}$.

$11-3\mathrm{b}=\mathrm{b}-5$

Die Normalform der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_2$ lautet:

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-1$

Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von ${\text{𝐩}}_{\text{𝟑}}$ in der Normalform.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=1.$

Der Scheitel der Parabel ${\mathrm{p}}_3$ist laut Angabe: ${\mathrm{S}}_3\left(\mathrm{2,5}|2\right)$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}$

Setzte die entsprechenden Werte in die Scheitelform ein.

${\mathrm{p}}_3:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-\mathrm{2,5}{)}^2+2$

Wir bestimmen die Normalform der Funktionsgleichung, indem wir die Klammer auflösen und zusammenfassen.

${\mathrm{p}}_3:\mathrm{y}=({\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+\mathrm{6,25})+2$

Die Normalform der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_3$ lautet:

${\mathrm{p}}_3:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+\mathrm{8,25}$

Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte ${\text{𝐓}}_{\text{𝟏}}$ und ${\text{𝐓}}_{\text{𝟐}}$.

Hinweis:

${\mathrm{x}}_1$ und ${\mathrm{x}}_2$ kann auch mithilfe der Mitternachtsformel berechnet werden.

Berechnen von ${\mathrm{y}}_1$ und ${\mathrm{y}}_2$.

Einsetzen der berechneten $\text{x}$-Werte in die Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1$.

(Selbstverständlich kann man die $\text{x}$-Werte auch in die Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_4$ einsetzen).

${\mathrm{y}}_1={\text{𝟐}}^2-6\cdot \text{𝟐}+7{\mathrm{y}}_2={\text{𝟓}}^2-6\cdot \text{𝟓}+7$

${\mathrm{y}}_1=-1{\mathrm{y}}_2=2$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind dann:

${\mathrm{T}}_1(2|-1){\mathrm{T}}_2(5|2)$

Zeichnen der Parabeln ${\text{𝐩}}_{\text{𝟐}}$ und ${\text{𝐩}}_{\text{𝟑}}$ in ein Koordinatensystem.

Angeben der Funktionsgleichung einer möglichen Geraden $\text{𝐠}$, die ${\text{𝐩}}_{\text{𝟓}}$ nicht schneidet.

Eine mögliche Funktionsgleichung von $\text{g}$ ist z. B.:

$\mathrm{g}:\mathrm{y}=\mathrm{x}-10$

Vereinfachen des Terms.

${\displaystyle \frac{20{\mathrm{x}}^{-12}{\mathrm{z}}^{-2}\cdot 13{\mathrm{y}}^{18}\cdot \mathrm{2,1}{\mathrm{x}}^7}{\mathrm{0,7}{\mathrm{x}}^{-7}\cdot 156{\mathrm{y}}^{10}\cdot 5{\mathrm{z}}^{-2}\cdot 4{\mathrm{x}}^6}}$

$\text{𝐨}\text{𝐫}\text{𝐝}\text{𝐧}\text{𝐞}$

${\displaystyle \frac{20\cdot 13\cdot \mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{x}}^{-12}\cdot {\mathrm{x}}^7\cdot {\mathrm{y}}^{18}\cdot {\mathrm{z}}^{-2}}{\mathrm{0,7}\cdot 156\cdot 5\cdot 4\cdot {\mathrm{x}}^{-7}\cdot {\mathrm{x}}^6\cdot {\mathrm{y}}^{10}\cdot {\mathrm{z}}^{-2}}}$

$\text{𝐤}\text{ü}\text{𝐫}\text{𝐳}\text{𝐞}$

${\displaystyle \frac{\cancel{20}\cdot \cancel{13}\cdot \stackrel{1}{\cancel{\mathrm{2,1}}}\cdot {\mathrm{x}}^{-12}\cdot {\mathrm{x}}^7\cdot {\mathrm{y}}^{18}\cdot {\mathrm{z}}^{-2}}{\cancel{\mathrm{0,7}}\cdot \underset{4}{\cancel{156}}\cdot \cancel{5}\cdot \cancel{4}\cdot {\mathrm{x}}^{-7}\cdot {\mathrm{x}}^6\cdot {\mathrm{y}}^{10}\cdot {\mathrm{z}}^{-2}}}$

$\text{𝐟}\text{𝐚}\text{𝐬}\text{𝐬}\text{𝐞}\text{𝐳}\text{𝐮}\text{𝐬}\text{𝐚}\text{𝐦}\text{𝐦}\text{𝐞}\text{𝐧}$

${\displaystyle \frac{1\cdot {\mathrm{x}}^{(7-12)}\cdot {\mathrm{y}}^{18}\cdot {\mathrm{z}}^{-2}}{4\cdot {\mathrm{x}}^{(6-7)}\cdot {\mathrm{y}}^{10}\cdot {\mathrm{z}}^{-2}}}$

$\text{𝐯}\text{𝐞}\text{𝐫}\text{𝐞}\text{𝐢}\text{𝐧}\text{𝐟}\text{𝐚}\text{𝐜}\text{𝐡}\text{𝐞}$

${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\mathrm{x}}^{(7-12+1)}\cdot {\mathrm{y}}^{(18-10)}\cdot {\mathrm{z}}^{(2-2)}$

$\text{Vereinfachter Term:}\Rightarrow {\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^8}{4{\mathrm{x}}^4}}$

Korrigieren des Fehlers.

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})\cdot (\mathrm{a}-\mathrm{b})=\mathrm{a}\cdot (\mathrm{a}-\mathrm{b})+\mathrm{b}\cdot (\mathrm{a}-\mathrm{b})$

$={\mathrm{a}}^2-\mathrm{a}\mathrm{b}\text{+ 𝐛𝐚}-{\mathrm{b}}^2$

$={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$

Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks $\text{𝐀𝐁𝐂}$.

Berechnen des Radius $|\overline{\mathrm{M}\mathrm{B}}|$.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }$

Auflösen der Formel nach $\text{r}$.

$\mathrm{r}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}}{\mathrm{\pi }}}}\Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{113,04}}{\mathrm{3,14}}}}$

$\mathrm{r}=6\text{ cm}$

Berechnen der Längen von $|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|$.

$|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|:|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=1:2\Rightarrow |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=2\cdot |\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|$

Wir können jetzt folgende Gleichung aufstellen:

$|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|+2\cdot |\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|=6\Rightarrow 3\cdot |\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|=6$

$|\overline{\mathrm{M}\mathrm{D}}|=2\text{ cm}\Rightarrow |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=4\text{ cm}$(siehe Aufgabenstellung)

Berechnen der Längen der Katheten $|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|$ und $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|$ mithilfe des Kathetensatzes.

Der Kathetensatz lautet:

${\mathrm{a}}^2=\mathrm{p}\cdot \mathrm{c}{\mathrm{b}}^2=\mathrm{q}\cdot \mathrm{c}$

Angewandt auf das Dreieck $\text{ABC}$:

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}{|}^2=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|\Rightarrow |\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=\sqrt{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}|}}|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|-|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|=12-4$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|=8\text{ cm}$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=\sqrt{12\cdot 8}\Rightarrow |\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=\sqrt{96}$

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|\approx \mathrm{9,8}\text{ cm}$

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}{|}^2=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|\Rightarrow |\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\sqrt{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\cdot |\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}|}}|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|-|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|$

$|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=12-8$

$|\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}|=4\text{ cm}$

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\sqrt{12\cdot 4}\Rightarrow |\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\sqrt{48}$

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|\approx \mathrm{6,9}\text{ cm}$

Berechnen des Umfangs des Dreiecks $\text{ABC}$.

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|+|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|+|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=12+\mathrm{6,9}+\mathrm{9,8}$

$\underline{\underline{{\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\mathrm{28,7}\text{ cm}}}$

Der Umfang des Dreiecks $\text{ABC}$ beträgt: $\mathrm{28,7}\text{ cm}$

Ersetzen des Platzhalters so, dass sich eine korrekte Aussage ergibt.

Der Kosinus im rechtwinkligem Dreieck ist definiert als:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Für das Dreieck $\text{ABC}$ ist das dann:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|}{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|}}$ oder $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|}{|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|}}$