Ermittle die Nullstellen der Funktion $k$ und gib ihre jeweilige Vielfachheit an

Gegeben ist $k(x)=x^5-4x^3\Rightarrow k(x)=x^3(x^2-4)$.

Berechne $k(x)=0$. Verwende den Satz vom Nullprodukt.

$0=x^3(x^2-4)\Rightarrow x^3=0\vee x^2-4=0$

Man erhält die Lösungen $x_{\mathrm{1,2,3}}=0\Rightarrow$ dreifache Nullstelle und

$x_4=-2$ einfache Nullstelle und $x_5=2$ einfache Nullstelle.

Gib einen Wert für $b$ mit $b\in ℝ$ und $b\ne -1$ an, so dass gilt: $${\displaystyle {\int }_{-1}^{b}k(x)\mathrm{d}x=0}$$

Die Funktion $k(x)$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (es treten nur ungerade Exponenten auf).

Demnach hat das Integral $${\displaystyle {\int }_{-1}^{1}k(x)\mathrm{d}x}$$ den Wert null. Die Flächenbilanz hat den Wert null$\Rightarrow b=1$.

Der Wert für $b$ mit $b\in ℝ$ und $b\ne -1$ ist $b=1$.