Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Runden mit Würfel $A$ eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel $B$

Es gilt: $P(3)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(5)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(1)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}},P(4)={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Gefordert: Mit Würfel $A$ soll eine größere Zahl erzielt werden als mit Würfel $B$.

Würfel $A$ zeigt eine $3$, dann muss Würfel $B$ eine $1$ zeigen$\Rightarrow (\mathrm{3,1})$.

Würfel $A$ zeigt eine $5$, dann muss Würfel $B$ eine $4$ zeigen oder eine $1$ $\Rightarrow (\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})$.

Für die erste Runde wird dann gesucht $P(\{(\mathrm{3,1});(\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})\})$.

$P(\{\mathrm{3,1}\})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}};P(\{\mathrm{5,4}\})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}};P(\{\mathrm{5,1}\})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$\Rightarrow P(\{(\mathrm{3,1});(\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})\})={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Für die zweite Runde gilt das gleiche Ergebnis, sodass sich insgesamt für das Ereignis die Wahrscheinlichkeit ${(P(\{(\mathrm{3,1});(\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})\}))}^2={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$ ergibt.

Gib jeweils eine natürliche Zahl für $v$ und $w$ an, sodass mit dem Term $v\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^w\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann

Bei den vier Runden müssen die vier Summen untereinander verschieden sein.

Z. B. könnte ein Ergebnis so aussehen $\mathrm{4,7,6,9}$. Das wäre z. B. ein Pfad im Baumdiagramm. Längs des Pfades müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. Deshalb tritt in dem Term das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf.

Es müssen immer diese vier Zahlen vorkommen, allerdings kann die Reihenfolge anders sein. Bei vier verschiedenen Ereignissen gibt es $4!=24$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge der Ereignisse.

Gegeben ist der Term $v\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^w\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$.

Es gilt:

$P(\{\mathrm{4,6,7,9}\})=24\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}})=24\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$

Vergleiche den Term $24\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$ mit $v\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^w\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$.

Dann ist $v=24$ und $w=4$.