Prüfteil A Aufgabengruppe 2 (Wahlteil)

Begründe, dass der Graph von $f$ nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

In der Wertemenge von $f$ ist zwar die Zahl $-3$, aber nicht die Zahl $3$ enthalten.

Die Wertemenge muss symmetrisch zur Zahl $0$ liegen. Das ist hier nicht der Fall. Damit ist der Graph von $f$ nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Gib die Wertemenge von $h$ an und begründe Deine Angabe

Der Graph von $h$ wird schrittweise durch Transformationen aus dem Graphen von $f$ erzeugt.

• $G_f$ wird an der x-Achse gespiegelt.

• $G_f$ wird mit dem Faktor $2$ in y-Richtung gestreckt.

• $G_f$ wird um $1$ in positive y-Richtung verschoben.

Diese drei Transformationen haben einen Einfluss auf die Wertemenge.

Die Verschiebung des Graphen um $5$ in positive x-Richtung hat keinen Einfluss auf die Wertemenge.

Betrachte die linke Grenze $-3$ des Wertebereichs von $f$:

An der x-Achse gespiegelt und mit dem Faktor $2$ in y-Richtung gestreckt$\Rightarrow$ $-3\stackrel{\stackrel{}{\cdot (-2)}}{\to }+6$. Um $1$ in positive y-Richtung verschoben$\Rightarrow +6\stackrel{\stackrel{}{+1}}{\to }+7$.

Betrachte die rechte Grenze $2$ des Wertebereichs von $f$:

An der x-Achse gespiegelt und mit dem Faktor $2$ in y-Richtung gestreckt$\Rightarrow$ $2\stackrel{\stackrel{}{\cdot (-2)}}{\to }-4$. Um $1$ in positive y-Richtung verschoben$\Rightarrow -4\stackrel{\stackrel{}{+1}}{\to }-3$.

Der Wertebereich von $h$ ist demnach $]-3;7]$.

Beachte, welcher Wert zum Wertebereich gehört und welcher nicht dazugehört.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Runden mit Würfel $A$ eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel $B$

Es gilt: $P(3)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(5)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(1)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}},P(4)={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Gefordert: Mit Würfel $A$ soll eine größere Zahl erzielt werden als mit Würfel $B$.

Würfel $A$ zeigt eine $3$, dann muss Würfel $B$ eine $1$ zeigen$\Rightarrow (\mathrm{3,1})$.

Würfel $A$ zeigt eine $5$, dann muss Würfel $B$ eine $4$ zeigen oder eine $1$ $\Rightarrow (\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})$.

Für die erste Runde wird dann gesucht $P(\{(\mathrm{3,1});(\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})\})$.

$P(\{\mathrm{3,1}\})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}};P(\{\mathrm{5,4}\})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}};P(\{\mathrm{5,1}\})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$\Rightarrow P(\{(\mathrm{3,1});(\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})\})={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Für die zweite Runde gilt das gleiche Ergebnis, sodass sich insgesamt für das Ereignis die Wahrscheinlichkeit ${(P(\{(\mathrm{3,1});(\mathrm{5,4});(\mathrm{5,1})\}))}^2={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$ ergibt.

Gib jeweils eine natürliche Zahl für $v$ und $w$ an, sodass mit dem Term $v\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^w\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann

Bei den vier Runden müssen die vier Summen untereinander verschieden sein.

Z. B. könnte ein Ergebnis so aussehen $\mathrm{4,7,6,9}$. Das wäre z. B. ein Pfad im Baumdiagramm. Längs des Pfades müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. Deshalb tritt in dem Term das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf.

Es müssen immer diese vier Zahlen vorkommen, allerdings kann die Reihenfolge anders sein. Bei vier verschiedenen Ereignissen gibt es $4!=24$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge der Ereignisse.

Gegeben ist der Term $v\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^w\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$.

Es gilt:

$P(\{\mathrm{4,6,7,9}\})=24\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}})\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}})=24\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$

Vergleiche den Term $24\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$ mit $v\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^w\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2$.

Dann ist $v=24$ und $w=4$.

Begründe, dass jedes Dreieck $A{B}_s{C}_t$ im Punkt $A$ rechtwinklig ist

Die Seite $\overline{A{B}_s}$ liegt in der $x_1{x}_2$-Ebene und die Seite $\overline{A{C}_t}$ liegt auf der $x_3$-Achse. Der Winkel zwischen der $x_3$-Achse und der $x_1{x}_2$-Ebene beträgt $90°$. Daher ist jedes Dreieck $A{B}_s{C}_t$ im Punkt $A$ rechtwinklig.

Zeige, dass die zugehörigen Punkte $(s|t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Geraden liegen

Die in der Abbildung dargestellte Gerade ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m=5\Rightarrow$Geradengleichung $t=5s$.

Weiterhin gilt für ein gleichschenkliges Dreieck:

$|\overline{A{B}_s}|=|\overline{A{C}_t}|$

$\Rightarrow |\overline{A{B}_s}|=\sqrt{(4s{)}^2+(3s{)}^2+0^2}=\sqrt{25s^2}=5s$ (wegen $s\in {ℝ}^{+}$)

$\Rightarrow |\overline{A{C}_t}|=\sqrt{0^2+0^2+t^2}=t$ (wegen $t\in {ℝ}^{+}$)

Dann folgt mit $|\overline{A{C}_t}|=|\overline{A{B}_s}|\Rightarrow t=5s$ ist die Funktionsgleichung, für die in der Abbildung dargestellte Gerade.

Demnach liegen die zugehörigen Punkte $(s|t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Geraden.