Aufgaben zu Daten und Zufallsexperimenten

Eine Laplace-Münze wird 10mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim k-ten Wurf zum ersten Mal Wappen geworfen wird für k=1,2,…10.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

W=Wappen

Z=Zahl

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Wurf Wappen geworfen wird.

$P(W)=\frac12=50\%$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim zweiten Wurf Wappen geworfen wird.

$P(ZW)=\frac12\cdot\frac12=\frac14=25\%$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim dritten Wurf Wappen geworfen wird.

$P(ZZW)=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18=12{,}5\%$

…

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim zehnten Wurf Wappen geworfen wird.

$P(ZZZZZZZZZW)=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}\approx0{,}098\%$

Allgemein:

Für den häufigen Wurf einer Laplace-Münze ergibt sich nach den Pfadregeln des Baumdiagramms der Stochastik die Wahrscheinlichkeit:

P("erst beim k-ten Wurf W") = $\left(\frac12\right)^k$

Tabelle mit allen Wahrscheinlichkeiten

$k$	$\text{Ereignis}$	$P(\text{Ereignis})$
$1$	${W}$	$\frac 1 2=50\%$
$2$	${Z W}$	$(\frac 1 2)^2=\frac 1 4=25\%$
$3$	$\{ZZW\}$	$(\frac 1 2)^3=\frac 1 8=12{,}5\%$
$4$	$\{ZZZW\}$	$(\frac 1 2)^4=\frac {1} {16}=6{,}25\%$
$5$	$\{ZZZZW\}$	$(\frac 1 2)^5=\frac {1} {32}=3{,}125\%$
$6$	$\{ZZZZZW\}$	$(\frac 1 2)^6=\frac {1} {64}=1{,}5625\%$
$7$	$\{ZZZZZZW\}$	$(\frac 1 2)^7=\frac {1} {128}\approx 0{,}781\%$
$8$	$\{ZZZZZZZW\}$	$(\frac 1 2)^8=\frac {1} {256}\approx 0{,}391\%$
$9$	$\{ZZZZZZZZW\}$	$(\frac 1 2)^9=\frac {1} {512}\approx 0{,}195\%$
$10$	$\{ZZZZZZZZZW\}$	$(\frac 1 2)^{10}=\frac {1} {1024}\approx 0{,}098\%$
allg.	$\{ZZZ\underbrace{W}_{k-te Stelle}\}$	$(\frac 1 2)^k$

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