Definiere die Zufallsvariable $XX$="Anzahl der Teile der Maschine, die nicht funktionieren"

$P(\text{"Maschine l}\ddot{\text{a}}\text{uft"})P(\backslash text\{"Maschine\; läuft"\})$= $P(X\le 1)P\backslash left(X\backslash leq1\backslash right)$

$XX$ hat Binomialverteilung mit $n=8n=8$. Es gibt nämlich $\left(\begin{array}{c}8\\ k\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}8\backslash \backslash \; k\; \backslash end\{pmatrix\}$ Möglichkeiten, dass $kk$ der $88$ Teile nicht funktionieren; für jedes einzelne Teil ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht funktioniert, gleich $pp$.

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{k})=\left(\begin{array}{c}8\\ \mathrm{k}\end{array}\right)\cdot p^{\mathrm{k}}\cdot {(1-\mathrm{p})}^{8-\mathrm{k}}\backslash mathrm\; P(\backslash mathrm\; X=\backslash mathrm\; k)=\backslash begin\{pmatrix\}8\backslash \backslash \backslash mathrm\; k\backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot\; p^\backslash mathrm\; k\backslash cdot\backslash left(1-\backslash mathrm\; p\backslash right)^\{8-\backslash mathrm\; k\}$

Du brauchst für diese Aufgabe nun die kumulierte Wahrscheinlichkeit, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X\le 1X\; \backslash leq\; 1$ ist.

$\mathrm{P}(\mathrm{X}\le 1)\ge \mathrm{0,8}\backslash mathrm\; P\backslash left(\backslash mathrm\; X\backslash leq1\backslash right)\backslash geq0\{,\}8$

Dem Tafelwerk entnimmst du: Für alle Werte von $pp$ die unter $\mathrm{0,1}0\{,\}1$ liegen, ist die Ungleichung sicher erfüllt, für $p=\mathrm{0,125}p=0\{,\}125$ bereits nicht mehr.

$\Rightarrow \mathrm{p}\le \mathrm{0,1}\backslash Rightarrow\; \backslash mathrm\; p\backslash leq\; 0\{,\}1$