Aufgaben zum Thema Logarithmen

In wie vielen Jahren hat sich eine mit einem Zinssatz von $p \%$ im Jahr verzinste Geldanlage (incl. Zinseszins) verdoppelt? Berechne diese Dauer für $p=1{,}2,3{,}4$ und $10$ und vergleiche die Ergebnisse mit der Faustregel "70 Jahre geteilt durch Zinssatz".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmen

Wir können wieder eine Rekursionsvorschrift aufstellen: Am Anfang haben wir einen Geldbetrag $M_0$ . Außerdem wird für ein Folgejahr der aktuelle Betrag $M_n$ um den Zinsbetrag erweitert:Insgesamt ergibt sich also (wenn wir die Rekursion auflösen):Nun können wir folgende Gleichung aufstellen:Und diese nach $n$ auflösen:Nun vergleichwen wir diese Formel für $p\in\{1{,}2,3{,}4,10\}$ mit $\frac{70}{p}$ (Werte sind teilweise gerundet, zusätzlich sind die aufgerundeten Werte angegeben):

$p$	$\log_{(1+\frac{p}{100})}{2}$	$\lceil\log_{(1+\frac{p}{100})}{2}\rceil$	$\frac{70}{p}$	$\lceil\frac{70}{p}\rceil$
$1$	$69{,}66$	$70$	$70$	$70$
$2$	$35{,}002$	$36$	$35$	$35$
$3$	$23{,}45$	$23$	$23{,}33$	$24$
$4$	$17{,}67$	$18$	$17{,}5$	$18$
$10$	$7{,}27$	$8$	$7$	$7$

Wir sehen also, dass $\frac{70}{p}$ den Term $\log_{(1+\frac{p}{100})}{2}$ teilweise leicht unterschätzt.

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