Aufgaben zum Thema Logarithmen

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Bestimme für beliebiges positives $b\ne 1$ folgende Werte: $\log_b{1}$ und $\log_b{b}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmen
Gesucht ist $y$ mit $y = \log_b{1}$ . Nach Definition des Logarithmus gilt dann $b^y = 1$ . Damit ist $y=0$ die Lösung. Die Lösung ist eindeutig, weil der Logarithmus eine Funktion ist. Bei einer Funktion ist der Funktionswert immer eindeutig bestimmt.
Als nächstes betrachten wir die Aufgabe $x = \log_b b$ . Nach Definition des Logarithmus gilt dann $b^x = b$ . Damit ist $x = 1$ die Lösung.

In wie vielen Jahren hat sich eine mit einem Zinssatz von $p \%$ im Jahr verzinste Geldanlage (incl. Zinseszins) verdoppelt? Berechne diese Dauer für $p=1{,}2,3{,}4$ und $10$ und vergleiche die Ergebnisse mit der Faustregel "70 Jahre geteilt durch Zinssatz".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmen

Wir können wieder eine Rekursionsvorschrift aufstellen: Am Anfang haben wir einen Geldbetrag $M_0$ . Außerdem wird für ein Folgejahr der aktuelle Betrag $M_n$ um den Zinsbetrag erweitert:Insgesamt ergibt sich also (wenn wir die Rekursion auflösen):Nun können wir folgende Gleichung aufstellen:Und diese nach $n$ auflösen:Nun vergleichwen wir diese Formel für $p\in\{1{,}2,3{,}4,10\}$ mit $\frac{70}{p}$ (Werte sind teilweise gerundet, zusätzlich sind die aufgerundeten Werte angegeben):

$p$	$\log_{(1+\frac{p}{100})}{2}$	$\lceil\log_{(1+\frac{p}{100})}{2}\rceil$	$\frac{70}{p}$	$\lceil\frac{70}{p}\rceil$
$1$	$69{,}66$	$70$	$70$	$70$
$2$	$35{,}002$	$36$	$35$	$35$
$3$	$23{,}45$	$23$	$23{,}33$	$24$
$4$	$17{,}67$	$18$	$17{,}5$	$18$
$10$	$7{,}27$	$8$	$7$	$7$

Wir sehen also, dass $\frac{70}{p}$ den Term $\log_{(1+\frac{p}{100})}{2}$ teilweise leicht unterschätzt.

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Vereinfache folgende Ausdrücke
( $b,c,x$ und $y$ seien positiv mit $b,c\ne 1$ )
1. $b^{x+\log_by}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  $b^{x+\log_by}=\ b^x\ \cdot\ b^{\log_by}=b^x\ \cdot\ y^{\log_bb}=b^x\ \cdot\ y$
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  $a^{\log_cb}=a^{\frac{\log_ab}{\log_ac}}=(a^{\log_ab})^{\frac{1}{\log_ac}}=b^{\frac{1}{\log_ac}}=b^{\frac{\log_ca}{\log_cc}}=b^{\log_ca}$
2. $\left(\sqrt[]{b}\right)^{\log_bx}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  $\left((\sqrt[]{b}\right)^{\log_bx}\ =\ x^{\log_b\sqrt[]{b}}\ =\ x^{\log_b\left(b^{\frac{1}{2}}\right)}\ =\ x^{\frac{1}{2}\cdot\log_bb}\ =\ \sqrt[]{x}$
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  $a^{\log_cb}=a^{\frac{\log_ab}{\log_ac}}=(a^{\log_ab})^{\frac{1}{\log_ac}}=b^{\frac{1}{\log_ac}}=b^{\frac{\log_ca}{\log_cc}}=b^{\log_ca}$
3. $\log_c\left(x^{\frac{1}{\log_cb}}\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  $\log_c\left(x^{\frac{1}{\log_cb}}\right)\ =\frac{1}{\log_cb}\ \cdot\ \log_cx\ =\ \log_bx\$
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  $a^{\log_cb}=a^{\frac{\log_ab}{\log_ac}}=(a^{\log_ab})^{\frac{1}{\log_ac}}=b^{\frac{1}{\log_ac}}=b^{\frac{\log_ca}{\log_cc}}=b^{\log_ca}$

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