Zur Erinnerung: Die Kettenregel lautet: $(h(g(x)))'=h'(g(x))g'(x)$.

Wenn wir nun $\displaystyle \frac{1}{g(x)}$ ableiten wollen, dann können wir

wählen und die Kettenregel benutzen:

$\displaystyle (h(g(x)))'=h'(g(x))g'(x)=-\frac{1}{(g(x))^2}g'(x)=-\frac{g'(x)}{(g(x))^2}\quad\quad\blacksquare$

Nun kommen wir zum zweiten Teil der Aufgabe, dem Ableiten von

Dazu wenden wir die Produktregel und die gerade ermittelte Ableitungsregel an:

Und damit sind wir bei der Quotientenregel gelandet.