Zur Erinnerung: Die Kettenregel lautet: $(h(g(x)){)}^{\mathrm{\prime }}=h^{\mathrm{\prime }}(g(x))g^{\mathrm{\prime }}(x)(h(g(x)))\text{'}=h\text{'}(g(x))g\text{'}(x)$.

Wenn wir nun ${\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{1\}\{g(x)\}$ ableiten wollen, dann können wir

wählen und die Kettenregel benutzen:

${\displaystyle (h(g(x)){)}^{\mathrm{\prime }}=h^{\mathrm{\prime }}(g(x))g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{(g(x){)}^2}{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{g^{\mathrm{\prime }}(x)}{(g(x){)}^2}\mathrm{■}}\backslash displaystyle\; (h(g(x)))\text{'}=h\text{'}(g(x))g\text{'}(x)=-\backslash frac\{1\}\{(g(x))^2\}g\text{'}(x)=-\backslash frac\{g\text{'}(x)\}\{(g(x))^2\}\backslash quad\backslash quad\backslash blacksquare$

Nun kommen wir zum zweiten Teil der Aufgabe, dem Ableiten von

Dazu wenden wir die Produktregel und die gerade ermittelte Ableitungsregel an:

Und damit sind wir bei der Quotientenregel gelandet.