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Aufgaben zum Thema Analysis

  1. 1

    Entscheide, ob die folgenden Funktionen stetig sind (ohne Begr√ľndung).

    1. Graph
    2. f(x)=sign(x)={1,fu¬®r¬†¬†x>0,0,fu¬®r¬†¬†x=0,‚ąí1,fu¬®r¬†¬†x<0.f(x) = \text{sign}(x) = \begin{cases} 1, & \text{f√ľr}\ \ x>0, \\ 0, & \text{f√ľr}\ \ x = 0, \\ -1, & \text{f√ľr} \ \ x < 0. \end{cases}

      Graph
    3. Graph
    4. Graph
    5. Graph
    6. f(x)={1,fu¬®r¬†¬†x‚ąąQ,‚ąí1,fu¬®r¬†¬†x‚ąČQ.f(x) = \begin{cases} 1, & \text{f√ľr}\ \ x \in \mathbb{Q}, \\ -1, & \text{f√ľr}\ \ x \notin \mathbb{Q}. \end{cases}

      Bildbeschreibung
  2. 2

    Zeige direkt anhand der ŌĶ\epsilon-őī\delta-Definition die Stetigkeit der Funktion f(x)=‚ą£x‚ą£f(x) = |x|. Wie kannst du anhand der ŌĶ\epsilon-őī\delta-Definition zeigen, dass die Signumsfunktion

    sign(x)={1¬†fu¬®r¬†x>0‚ÄÖ‚Ää,0¬†fu¬®r¬†x=0‚ÄÖ‚Ää,‚ąí1¬†fu¬®r¬†x<0‚ÄÖ‚Ää\mathrm{sign}(x) =\begin{cases}1 & \text{ f} \mathrm{\ddot{u}} \text{r } x > 0 \; , \\0 & \text{ f} \mathrm{\ddot{u}} \text{r } x = 0\; , \\-1 & \text{ f} \mathrm{\ddot{u}} \text{r } x < 0\;\end{cases} in x=0x=0 nicht stetig ist?

  3. 3

    Leite mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von 1g(x)\frac{1}{g(x)} und anschließend mit der Produktregel die Ableitung von f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} her.

  4. 4

    Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet:

    Die Funktion ff sei im Intervall [a,b][a,b] mit a<ba<b stetig und im Inneren (a,b)(a,b) differenzierbar.

    Dann existiert ein c‚ąą[a,b]c\in[a,b] mit

    f(b)‚ąíf(a)=f‚Ä≤(c)(b‚ąía).f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

    1. Was bedeutet dieser Satz anschaulich?

    2. Beweise den Satz von Rolle:

      Die Funktion ff sei im Intervall [a,b][a,b] stetig differenzierbar und es gelte f(a)=f(b)f(a)=f(b).Dann besitzt der Graph von ff zwischen aa und bb mindestens einen Punkt mit waagrechter Tangente.


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CC BY-SA 4.0 ‚Üí Was bedeutet das?