An einem Punkt $x$, an dem $f$ eine waagrechte Tangente hat, gilt $f^{\prime }(x)=0$ (da die waagrechte Tangente nicht steigt oder fällt).Wenn $f(a)=f(b)$, dann ist natürlich $f(b)-f(a)=0$.Nun betrachten wir den Mittelwertsatz (wir haben ja vorausgesetzt, dass $f$ im Intervall $[a,b]$ stetig differenzierbar ist; zusätzlich muss $a\ne b$ gelten, denn sonst wäre, sobald der Satz bewiesen ist, in jedem Punkt eine waagrechte Tangente):

Mit der oben erkannten Eigenschaft ergibt sich:

Da wir $a\ne b$ noch zusätzlich vorausgesetzt haben, können wir durch $(b-a)$ dividieren:

Und damit haben wir am Punkt $\xi \in [a,b]$ eine waagrechte Tangente. Da nach mindestens einer solcher verlangt war, haben wir den Satz von Rolle bewiesen.