Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet:
Die Funktion f sei im Intervall [a,b] mit a<b stetig und im Inneren (a,b) differenzierbar.
Dann existiert ein c∈[a,b] mit
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a).
Was bedeutet dieser Satz anschaulich?
Beweise den Satz von Rolle:
Die Funktion f sei im Intervall [a,b] stetig differenzierbar und es gelte f(a)=f(b).Dann besitzt der Graph von f zwischen a und b mindestens einen Punkt mit waagrechter Tangente.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Analysis
An einem Punkt x, an dem f eine waagrechte Tangente hat, gilt f′(x)=0 (da die waagrechte Tangente nicht steigt oder fällt).Wenn f(a)=f(b), dann ist natürlich f(b)−f(a)=0.Nun betrachten wir den Mittelwertsatz (wir haben ja vorausgesetzt, dass f im Intervall [a,b] stetig differenzierbar ist; zusätzlich mussa=b gelten, denn sonst wäre, sobald der Satz bewiesen ist, in jedem Punkt eine waagrechte Tangente):
Mit der oben erkannten Eigenschaft ergibt sich:
Da wir a=b noch zusätzlich vorausgesetzt haben, können wir durch (b−a) dividieren:
Und damit haben wir am Punkt ξ∈[a,b] eine waagrechte Tangente. Da nach mindestens einer solcher verlangt war, haben wir den Satz von Rolle bewiesen.
