An einem Punkt $xx$, an dem $ff$ eine waagrechte Tangente hat, gilt $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$ (da die waagrechte Tangente nicht steigt oder fällt).Wenn $f(a)=f(b)f(a)=f(b)$, dann ist natürlich $f(b)-f(a)=0f(b)-f(a)=0$.Nun betrachten wir den Mittelwertsatz (wir haben ja vorausgesetzt, dass $ff$ im Intervall $[a,b][a,b]$ stetig differenzierbar ist; zusätzlich muss $a\mathrm{\ne }ba\; \backslash neq\; b$ gelten, denn sonst wäre, sobald der Satz bewiesen ist, in jedem Punkt eine waagrechte Tangente):

Mit der oben erkannten Eigenschaft ergibt sich:

Da wir $a\mathrm{\ne }ba\backslash neq\; b$ noch zusätzlich vorausgesetzt haben, können wir durch $(b-a)(b-a)$ dividieren:

Und damit haben wir am Punkt $\xi \in [a,b]\backslash xi\backslash in[a,b]$ eine waagrechte Tangente. Da nach mindestens einer solcher verlangt war, haben wir den Satz von Rolle bewiesen.