Beispielsweise könnte man folgende Funktionen angeben:

$f: \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad x\mapsto x+1$

$f: \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad x\mapsto x+2$

und so weiter.

Genauso geht z.B.:

$f: \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad x\mapsto 2\cdot x$

$f: \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad x\mapsto 3\cdot x$

und so fort.

Bei den hier angegebenen Funktionen gibt es keine zwei Zahlen $x,y\in\mathbb{N}$ mit $x\neq y$, für die gilt: $f(x)=f(y)$ (da in den angegebenen Fällen immer $f(x)<f(y)$ für $x<y$ gilt und die Funktionen streng monoton steigen). Gleichzeitig existiert für z.B. die Gleichung $f(x)\overset{!}{=}1$ keine Lösung in $\mathbb{N}$.

Die einfachste Lösung wäre wohl:

$f: \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad x\mapsto x.$

Weiterhin wäre z.B. folgendes möglich…

$\def\arraystretch{1.25} f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},x\mapsto\left\{\begin{array}{lc}3-x&x\leq 2\\x&x>2\end{array}\right.$

…oder einfach weiter ein paar Werte manuell vertauschen und für den Rest die Identitätsfunktion ($x\mapsto x$) angeben.