Beispielsweise könnte man folgende Funktionen angeben:

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},x\mapsto x+1f:\; \backslash mathbb\{N\}\backslash to\backslash mathbb\{N\},\backslash quad\; x\backslash mapsto\; x+1$

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},x\mapsto x+2f:\; \backslash mathbb\{N\}\backslash to\backslash mathbb\{N\},\backslash quad\; x\backslash mapsto\; x+2$

und so weiter.

Genauso geht z.B.:

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},x\mapsto 2\cdot xf:\; \backslash mathbb\{N\}\backslash to\backslash mathbb\{N\},\backslash quad\; x\backslash mapsto\; 2\backslash cdot\; x$

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},x\mapsto 3\cdot xf:\; \backslash mathbb\{N\}\backslash to\backslash mathbb\{N\},\backslash quad\; x\backslash mapsto\; 3\backslash cdot\; x$

und so fort.

Bei den hier angegebenen Funktionen gibt es keine zwei Zahlen $x,y\in \mathbb{N}x,y\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ mit $x\mathrm{\ne }yx\backslash neq\; y$, für die gilt: $f(x)=f(y)f(x)=f(y)$ (da in den angegebenen Fällen immer für gilt und die Funktionen streng monoton steigen). Gleichzeitig existiert für z.B. die Gleichung $f(x)1f(x)\backslash overset\{!\}\{=\}1$ keine Lösung in $\mathbb{N}\backslash mathbb\{N\}$.

Die einfachste Lösung wäre wohl:

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},x\mapsto x\mathrm{.}f:\; \backslash mathbb\{N\}\backslash to\backslash mathbb\{N\},\backslash quad\; x\backslash mapsto\; x.$

Weiterhin wäre z.B. folgendes möglich…

…oder einfach weiter ein paar Werte manuell vertauschen und für den Rest die Identitätsfunktion ($x\mapsto xx\backslash mapsto\; x$) angeben.