Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\1 & 4 & 3 \\-2 & -3 & -1 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ a\end{array}\right.\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ a + 4\end{array}\right.\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ a + 4 \\ 2 - 2(a + 4)\end{array}\right.\right)$

Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt $0 = 2 - 2(a + 4)$ bzw. $a = -3$. Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können $x_3$ beliebig wählen, z. B. $x_3 = z$. Wir fügen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen $a = -3$.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ -3 + 4 \\ z\end{array}\right.\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{r}z \\ 1 - z \\ z\end{array}\right.\right)$

Das heißt, es gilt $a = -3$ sowie $x_1 = z$, $x_2 = 1 - z$ und $x_3 = z$ mit $z \in \mathbb{R}$.