Aufgaben zur Flächenberechnung

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ mithilfe der Determinante

$A (3 ∣ 1)$ , $B (0 ∣ 2)$ und $C (4 ∣ 5)$
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}0 - 3\\2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}4 - 3\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
$F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right|$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 1& -3\\ 4& 1\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 1 \cdot 1 - (-3) \cdot 4) = 6{,}5$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ gilt also $F = 6,5$
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$A (- 4 ∣ - 5)$ , $B (- 1 ∣ 1)$ und $C (3 ∣ - 2)$
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1 - (-4)\\1-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}3 - (-4)\\-2-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$
Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
$F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix} \right|$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 7& 3\\ 3& 6\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 7 \cdot 6 - 3 \cdot 3) = 16{,}5$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ gilt also $F = 16,5$
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$A (4 ∣ 4,5)$ , $B(2{,}5|-\frac{2}{3})$ und $C (- 3,2 ∣ - 2)$
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}2{,}5 - 4\\ -\frac{2}{3} -4{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1{,}5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}-3{,}2 - 4\\-2-4{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7{,}2\\-6{,}5\end{pmatrix}$
Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
$F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \cdot \left| \begin{pmatrix}-7{,}2\\-6{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1{,}5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix} \right|$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \begin{vmatrix} -7{,}2& -1{,}5 \\ -6{,}5& -\frac{31}{6} \end{vmatrix}$
$\phantom{F}=\frac 1 2 \left[ (-7{,}2) \cdot \left(-\frac{31}{6}\right) - ( -1{,}5) \cdot (-6{,}5)\right]$
$\phantom{F}=13{,}725$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ gilt also $F = 13,725$ .
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