Die freie Lernplattform

Aufgaben zur Flächenberechnung

Mit diesen Aufgaben kannst du üben, Flächen zu berechnen, die sich aus Punkten in einem Koordinatensystem ergeben.

1
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das
1. durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)$ , $\mathrm B\left(3\;\left|\;0\right.\right)$ , $\mathrm C\left(0\;\left|\;3\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|9\right|=4{,}5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. durch die Punkte $\mathrm A\left(2\;\left|\;3\right.\right)$ , $\mathrm B\left(3\;\left|\;0\right.\right)$ , $\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}1&-1\\-3&1\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|\left(1-3\right)\right|=\frac12\cdot\left|-2\right|=1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. durch die Punkte $\mathrm A\left(-2\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm B\left(1\;\left|\;2\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-2\;\left|\;4\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  Benutze die Eigenschaften der Determinante einer unteren Dreiecksmatrix .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}3&0\\3&5\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|15\right|=7{,}5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. durch die Punkte $\mathrm A\left(-5\;\left|\;-3\right.\right)$ , $\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-1\;\left|\;-5\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}1&4\\2&-2\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|-2-8\right|=\frac12\cdot\left|-10\right|=5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. durch die Punkte $\mathrm A\left(13\;\left|\;17\right.\right)$ , $\mathrm B\left(63\;\left|\;3\right.\right)$ , $\mathrm C\left(7\;\left|\;47\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}63\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\-14\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}7\\47\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\\17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\30\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\det\begin{pmatrix}50&-6\\-14&30\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|\left(1500-84\right)\right|=\frac12\cdot\left|1416\right|=708$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ mithilfe der Determinante
1. $A(3|1)$ , $B(0|2)$ und $C(4|5)$
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
  $\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}0 - 3\\2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}4 - 3\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
  Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
  Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
  $F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right|$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 1& -3\\ 4& 1\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 1 \cdot 1 - (-3) \cdot 4) = 6{,}5$
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ gilt also $F = 6{,}5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $A(-4|-5)$ , $B(-1|1)$ und $C(3|-2)$
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
  $\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1 - (-4)\\1-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}3 - (-4)\\-2-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$
  Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
  Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
  $F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \cdot \left|\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix} \right|$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \begin{vmatrix} 7& 3\\ 3& 6\end{vmatrix} =\frac 1 2 ( 7 \cdot 6 - 3 \cdot 3) = 16{,}5$
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ gilt also $F = 16{,}5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $A(4|4{,}5)$ , $B(2{,}5|-\frac{2}{3})$ und $C(-3{,}2|-2)$
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
  $\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}2{,}5 - 4\\ -\frac{2}{3} -4{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1{,}5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}-3{,}2 - 4\\-2-4{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7{,}2\\-6{,}5\end{pmatrix}$
  Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
  Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
  $F = \frac 1 2 \cdot \left|\overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AB} \right|$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \cdot \left| \begin{pmatrix}-7{,}2\\-6{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1{,}5\\-\frac{31}{6}\end{pmatrix} \right|$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \begin{vmatrix} -7{,}2& -1{,}5 \\ -6{,}5& -\frac{31}{6} \end{vmatrix}$
  $\phantom{F}=\frac 1 2 \left[ (-7{,}2) \cdot \left(-\frac{31}{6}\right) - ( -1{,}5) \cdot (-6{,}5)\right]$
  $\phantom{F}=13{,}725$
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks $\,\triangle ABC$ gilt also $F = 13{,}725$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das
1. durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\right.\right)$ , $\mathrm B\left(4\;\left|\;1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(1\;\left|\;4\right.\right)$ , $\mathrm D\left(5\;\left|\;5\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}4&1\\1&4\end{pmatrix}\right|$
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  $=\left|16-1\right|=\left|15\right|=15$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. durch die Punkte $\mathrm A\left(-1\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm B\left(6\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-1\;\left|\;6\right.\right)$ , $\mathrm D\left(6\;\left|\;6\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}\right|$
  Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
  $=\left|7\cdot7\right|=\left|49\right|=49$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. durch die Punkte $\mathrm A\left(-7\;\left|\;-3\right.\right)$ , $\mathrm B\left(-2\;\left|\;1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-5\;\left|\;4\right.\right)$ , $\mathrm D\left(0\;\left|\;6\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}5&2\\2&7\end{pmatrix}\right|$
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  $=\left|35-4\right|=\left|31\right|=31$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. durch die Punkte $\mathrm A\left(-4\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm B\left(2\;\left|\;-1\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-1\;\left|\;1\right.\right)$ , $\mathrm D\left(5\;\left|\;1\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\end{array}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}6&3\\0&2\end{pmatrix}\right|$
  Benutze die Eigenschaften der Determinante einer unteren Dreiecksmatrix .
  $=\left|12\right|=12$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;-17\right.\right)$ , $\mathrm B\left(10\;\left|\;-3\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-12\;\left|\;-5\right.\right)$ , $\mathrm D\left(-2\;\left|\;9\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  Der Punkt $\mathrm D$ wird zur Berechnung des Flächeninhalts nicht benötigt und ist nur der Vollständigkeit halber angegeben.
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}10\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\14\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-12\\-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-17\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\12\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}10&-12\\14&12\end{pmatrix}\right|$
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrizen}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  $=\left|120+168\right|=\left|288\right|=288$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. den Punkt $\mathrm A\left(-4\;\left|\;-6\right.\right)$ und die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ aufgespannt wird.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-3&4\\5&2\end{pmatrix}\right|$
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  $=\left|-6-20\right|=\left|-26\right|=26$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. den Punkt $\mathrm B\left(2\;\left|\;3\right.\right)$ und die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ aufgespannt wird.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Parallelogramms (im Zweidimensionalen)
  Setze in die Formel für die Fläche eines Parallelogramms im Zweidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm{Parallelogramm}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)\right|$ .
  $\mathrm A=\left|\det\begin{pmatrix}-4&4\\1&1\end{pmatrix}\right|$
  Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrix}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
  $=\left|-4-4\right|=\left|-8\right|=8$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4
Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$
1. $A(-1|-1), B(1|2)$ und $D(5|2)$
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Der Flächeninhalt $F$ ist gegeben durch $F = \left|\overrightarrow{AB} \,\overrightarrow{AC}\right|$ , du brauchst also erst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ zu bestimmen.
  Nun setzst du ein! Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen dem Uhrzeigersinn ist.
  $F=\left| \overrightarrow{AC} \overrightarrow{AB}\right|= \begin{vmatrix}4&2\\0&3\end{vmatrix}=4 \cdot 3-2 \cdot 0 = 12$
  Also beträgt der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$ genau $F=12$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $A(-2|2) , B(3|3)$ und $C(-1|1)$
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
  Der Flächeninhalt $F$ ist gegeben durch $F = \left|\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}\right|$ , du bestimmst also zuerst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .
  Nun setzen wir ein:
  $F=\left|\overrightarrow{AC}\,\overrightarrow{AB}\right|=\begin{vmatrix}1&5\\-1&1\end{vmatrix}=1 \cdot 1-5 \cdot (-1) = 6$
  Also beträgt der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$ genau $F = 6$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das
1. durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(3\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(0\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
  Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\sqrt{0^2+0^2+15^2}$
  $=\frac12\cdot15=7{,}5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. durch die Punkte $\mathrm A\left(3\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(4\;\left|\;-1\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;0\right.\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
  Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\sqrt{\left(-2\right)^2+1^2+\left(-2\right)^2}$
  $=\frac12\cdot\sqrt{4+1+4}$
  $=\frac12\cdot\sqrt9=\frac32=1{,}5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. durch die Punkte $\mathrm A\left(5\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(3\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(5\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ gegeben ist.
  FE
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche des Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
  Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors.
  ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}8\\-4\\-8\end{pmatrix}\right|$
  $=\frac12\cdot\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2+\left(-8\right)^2}$
  $=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}$
  $=\frac12\cdot\sqrt{144}=\frac{12}2=6$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. durch die Punkte $\mathrm A\left(11\;\left|\;9\;\left|\;7\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(4\;\left|\;6\;\left|\;11\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right)$ gegeben ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
  Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}$