Aufgaben zur Flächenberechnung

Die Punkte sind gegeben durch $A (- 3 ∣ 4)$ und $B (0 ∣ 1)$ , $C$ bewegt sich dabei auf der Funktion $\ln(x-3)$ in Abhängigkeit von $x$ .

Bestimme zuerst den Definitionsbereich von $x$ und dann den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta ABC$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimmen des Definitionsbereiches

Zunächst bestimmst du den Definitionsbereich von $x$ .

Betrachte hierfür $\ln(x-3)$ . Der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen sowie für null nicht definiert. Für das Argument des Logarithmus muss also gelten:

$x - 3 > 0 \,\, \Longleftrightarrow\,\, x>3$

Damit ist der Definitionsbereich $D =\, ]\,3, \infty\,[$ .

Berechnen des Flächeninhaltes

Stelle zuerst zwei Seiten des Dreiecks als Vektoren auf.

\displaystyle \vec v = \overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 3\\-3 \end{pmatrix}

\displaystyle \vec w = \overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}x+3\\\ln(x-3)-4 \end{pmatrix}

Benutze nun die Formel zur Flächenberechnung eines Dreiecks mithilfe der Determinante. Gegen den Uhrzeigersinn betrachtet kommt $\vec v$ vor $\vec w$ , also schreibst du zuerst $\vec v$ , dann $\vec w$ in die Formel.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} F(x) = \frac12 |\vec v \vec w| &=& \frac12 \begin{vmatrix}3&x+3\\-3&\ln(x-3)-4\end{vmatrix} \\\\ &=& \frac12 \left( 3\cdot(\ln(x-3)-4)-(x+3)\cdot (-3) \right) \\\\ &=& 1{,}5\ln(x-3)+1{,}5x - 1{,}5 \end{array}

Nach Ausrechnen der Determinante bekommst du für den Flächeninhalt also:

\displaystyle F(x) = 1{,}5\ln(x-3) + 1{,}5x - 1{,}5

Unten kannst du, in dem du den Punkt $C$ entlang der Funktion $\,\ln(x-3)\,$ bewegst, den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta ABC$ verändern.

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