Aufgaben zur Flächenberechnung

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das

durch die Punkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(3\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(0\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}0\\0\\15\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\sqrt{0^2+0^2+15^2}$
$=\frac12\cdot15=7{,}5$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(3\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(4\;\left|\;-1\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(3\;\left|\;-1\;\left|\;0\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\sqrt{\left(-2\right)^2+1^2+\left(-2\right)^2}$
$=\frac12\cdot\sqrt{4+1+4}$
$=\frac12\cdot\sqrt9=\frac32=1{,}5$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(5\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(3\;\left|\;-3\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(5\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ gegeben ist.
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche des Dreiecks
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors.
${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}8\\-4\\-8\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2+\left(-8\right)^2}$
$=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}$
$=\frac12\cdot\sqrt{144}=\frac{12}2=6$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(11\;\left|\;9\;\left|\;7\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(4\;\left|\;6\;\left|\;11\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(8\;\left|\;9\;\left|\;10\right.\right.\right)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}8\\9\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}11\\9\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-7\\-3\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-9\\9\\-9\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\sqrt{\left(-9\right)^2+9^2+\left(-9\right)^2}$
$=\frac12\cdot\sqrt{3\cdot9^2}$
$=\frac92\sqrt3$
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durch die Punkte $\mathrm A\left(2\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(-3\;\left|\;1\;\left|\;3\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(4\;\left|\;-4\;\left|\;4\right.\right.\right)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Dreiecks
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-4\\4\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\-4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-9\\5\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein: ${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$ .
Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .
${\mathrm A}_\mathrm\Delta=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}-5\\-4\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-9\\5\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix}16\\33\\53\end{pmatrix}\right|$
$=\frac12\cdot\sqrt{16^2+33^2+53^2}$
$=\frac12\cdot\sqrt{256+1089+2809}$
$=\frac12\cdot\sqrt{4154}=\sqrt{\frac{2077}2}$
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