Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  ${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|$  .

Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 15\end{array}\right)\right|$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+{15}^2}$

$=\frac{1}{2}\cdot 15=\mathrm{7,5}$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  ${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|$  .

Berechne das Kreuzprodukt und dann den  Betrag des Vektors .

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)\right|$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{{(-2)}^2+1^2+{(-2)}^2}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4+1+4}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{9}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  ${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|$  .

Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ -8\end{array}\right)\right|$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{8^2+{(-4)}^2+{(-8)}^2}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{64+16+64}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{144}=\frac{12}{2}=6$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 11\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}11\\ 9\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 4\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}8\\ 9\\ 10\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}11\\ 9\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  ${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|$  .

Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ -9\end{array}\right)\right|$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{{(-9)}^2+9^2+{(-9)}^2}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3\cdot 9^2}$

$=\frac{9}{2}\sqrt{3}$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 5\end{array}\right)$

Setze in die Formel für die Fläche eines Dreiecks im Dreidimensionalen ein:  ${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|$  .

Berechne das Kreuzprodukt und dann den Betrag des Vektors .

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot |\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -9\\ 5\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{2}\cdot \left|\left(\begin{array}{c}16\\ 33\\ 53\end{array}\right)\right|$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{{16}^2+{33}^2+{53}^2}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{256+1089+2809}$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4154}=\sqrt{\frac{2077}{2}}$