Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Bestimme die Nullstelle(n) folgender Funktionen.

$f(x)=4x+20$

$f(x)=14x−21$

$f(x)=x^2+6x−14$

$f(x)=x^2−5x+6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-5x+6=0$
	↓	Bestimme die Koeffizienten a, b und c.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Setze nun die 3 Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\left(-5\right)\pm\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{5\pm1}{2}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 2$

Die Funktion f hat also die Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=2$ .

Lösung mit dem Satz von Vieta:

$\displaystyle x^2-5x+6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Da die Gleichung die Form $x^2+px+q=0$ hat, können wir den Satz von Vieta anwenden.
$\displaystyle x_1+x_2$	$=$	$\displaystyle -p\ =\ -\left(-5\right)=5$
$\displaystyle x_1\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle q=6$

Versuche durch Raten Lösungen für $x_1$ und $x_2$ zu finden. Mögliche Kandidaten sind die Teiler von 6. Also 1,2,3 und 6.

$x_1$	$x_2$	$x_1+x_2$	$x_1\cdot x_2$
$1$	$6$	$1+6=7$	$1\cdot6=6$
$2$	$3$	$2+3=5$	$2\cdot3=6$

Die Lösungen sind also $x_1=2$ und $x_2=3$ .

Es ergeben sich die gleichen Ergebnisse wie bei der Mitternachtsformel.

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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+6x-14=0$
	↓	mit der pq-Formel lösen.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\left(\frac{p}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -3\pm\sqrt{9-\left(-14\right)}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{23\ }\vee x_2=-3-\sqrt{23}$