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Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

5Potenzfunktion (4|4)

An dieser Stelle ist es sinnvoll, einen Begriff für Funktionen wie p(x)=x2,f(x)=x3,q(x)=x4,…p(x)=x^2, f(x)=x^3, q(x)=x^4, … einzuführen:

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f(x)=a⋅xnf(x)=a\cdot x^n (mit n∈N0,a∈Rn\in \mathbb{N}_0, a\in \mathbb{R})

Die Form der Potenzfunktion hängt vom Exponenten nn und Koeffizienten aa ab.

Eine gerade Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten ((wie 1,3x2,−2x4)1, 3x^2, -2x^4).

Eine ungerade Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten ((wie x,−x3,4x5)x, -x^3, 4x^5).

Den Exponenten in einer Potenzfunktion kann man auch Grad nennen.

Dabei kann eine Potenzfunktion auch den Grad 00 haben. In diesem Fall handelt es sich um eine konstante Funktion. So ist zum Beispiel f(x)=3=3⋅x0f(x)=3=3\cdot x^0 auch eine Potenzfunktion.

Rechts findest du die Graphen von 1,x,x2,x3,…,x71, x, x^2, x^3, …, x^7.

Beim Untersuchen der Graphen fällt dir bestimmt auf, dass sie sich alle in dem Punkt (1∣1)(1|1) schneiden (hier rot eingezeichnet).

Werden diese Potenzfunktionen mit einem Koeffizienten multipliziert, z. B. 2,2x,2x2,…2, 2x, 2x^2,…, so verändert sich dieser "Fixpunkt" ebenso. Er hätte nun z.B. die Koordinaten (1∣2)(1|2).

Potenzfunktionen

Auf der nächsten Kursseite kannst du mithilfe von Applets herausfinden, welchen Einfluss der Koeffizient und der Exponent auf den Verlauf des Graphen haben.


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