4Die Geradengleichung

Du weißt bereits, dass eine Gerade einen sogenannten Aufpunkt braucht, welcher die Gerade im Raum fixiert. Möchtest du nun die dazugehörige Geradengleichung aufstellen, gibt es $2$ Möglichkeiten. Entweder du hast $2$ Punkte, einen Aufpunkt und einen weiteren durch den du die Gerade legen möchtest, oder du hast einen Punkt und einen Vektor, also einen Aufpunkt und einen Vektor der dir bereits die Richtung deiner Gerade vorgibt.

1.Gerade durch zwei Punkte $A$ und $B$:

Wähle als Aufpunkt den Punkt $\overrightarrow{A}$. Da die Gerade durch beide Punkte gehen soll, überlegst du dir wie du zu dem Punkt $\overrightarrow{B}$ von $\overrightarrow{A}$ aus kommst. Dazu musst du zu A den Verbindungsvektor von $\overrightarrow{A}$ und $\overrightarrow{B}$, nämlich $\overrightarrow{AB}$ dazuzählen. Wenn du den Verbindungsvektor $\vec{AB}$ $1$ mal dazu zählst, erhälst du den Punkt $\vec{B}$, nachdem du aber eine Gerade durch $\overrightarrow{A}$ und $\overrightarrow{B}$ aufstellen möchtest addierst du den Verbindungsvektor beliebig oft dazu, denn so kannst du jeden Punkt auf der Gerade durch $\overrightarrow{A}$ und $\overrightarrow{AB}$ erreichen. Das beliebigofte dazuzählen des Vektors drückst du durch eine Variable aus, also die Variable mal den Vektor. In der Regel nimmst du dafür Variablen wie $\lambda$ oder $\mu$. Für die Variable darfst du Werte aus $\mathbb{R}$ einsetzen.

Die vollständige Geradengleichung lautet also:

$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda\cdot \overrightarrow{AB}$

2.Gerade durch einen Punkt $\overrightarrow{A}$ und mit einem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$:

Wähle wieder den Aufpunkt $\overrightarrow{A}$ und addiere zu ihm $\lambda$ mal den Richtungsvektor, denn so erreichst du alle Punkte die in der angegebenen Richtung gesucht sind, weil du für $\lambda$ wieder alle Werte aus $\mathbb{R}$einsetzen kannst.

$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda\cdot \overrightarrow{v}$