Inhalt des Kurses:

In diesem Kurs lernst du die grundlegenden Eigenschaften von Geraden im dreidimensionalen Raum.

Vorkenntnisse:

Du solltest sowohl die Grundbegriffe Vektor, als auch Gerade verstanden haben und dich im dreidimensionalen Koordinatensystem zurecht finden.

Kursdauer:

Die Länge des Kurses beträgt ungefähr $4545$ min.

Stelle dir einen beliebigen Vektor in einem dreidimensionalen Raum vor. Du weißt bereits, dass dieser im Raum gerichtet ist. Das heißt er zeigt in eine eindeutige Richtung und hat eine feste Länge, aber keine feste Lage im Raum.

Wenn du zum Beispiel den Vektor $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{a\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ anschaust, hat dieser keine feste Lage.

Er könnte einen Repräsentanten zwischen den Punkten $A(-2\mathrm{\mid }-3\mathrm{\mid }1)A(-2|-3|1)$ und $B(-3\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }2)B(-3|-1|2)$ oder zwischen $C(-2\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }1)C(-2|3|1)$ und $D(-3\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }2)D(-3|5|2)$ haben, weil bei beiden der Verbingungsvektor dem Vektor $\overrightarrow{a}\backslash overrightarrow\{a\}$ entspricht $(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{a})\backslash left(\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash overrightarrow\{CD\}=\backslash overrightarrow\{a\}\backslash right)$.

Würdest du nun den Vektor $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ beliebig oft aneinander hängen erhältst du einen beliebig langen geraden Vektor, aber keine Gerade. Du weißt bereits aus dem $22$-dimensionalen, dass eine Gerade immer fest im Raum liegt.

Du kennst bereits den Begriff der Gerade aus dem $22$-dimensionalen. Eine Gerade ist eine Menge von Punkten, die die Geradengleichung erfüllen, das heißt insbesondere dass die Gerade fest im Raum liegt, da jedes $xx$ in der Geradengleichung einen Punkt $yy$ zugeordnet bekommt und diese dann die Koordinaten der einzelnen Punkte der Gerade sind. Zum Beispiel für eine Gerade $g(x)=2\cdot x+1g(x)=2\backslash cdot\; x+1$ liegt der Punkt $P(2\mathrm{\mid }5)P(2|5)$ auf der Geraden, denn $2\cdot 2+1=5=y2\backslash cdot\; 2+1=5=y$.

Ein Beispiel aus dem $22$-dimensionalen:

Die beiden Geraden $gg$ und $hh$ laufen in die selbe Richtung, haben aber nicht die gleiche Lage und sind somit verschieden.

Wie auf der vorherigen Seite angesprochen könntest du einen Vektor beliebig oft aneinander hängen und hättest so eine unendlich lange gerade Linie, jedoch keine Gerade.

Wenn du nun aber dir einen Startpunkt auswählst und von diesem aus den Vektor beliebig oft aneinander hängst, wird dein unendlicher langer Vektor an diesen Punkt fixiert und du kannst ihn nicht mehr beliebig im Raum verschieben, da er abhängig von diesem Punkt ist.

Du hast nun eine Gerade im $33$-dimensionalen Raum und nennst diesen Punkt der den Vektor fixiert Aufpunkt der Gerade.

Du weißt bereits, dass eine Gerade einen sogenannten Aufpunkt braucht, welcher die Gerade im Raum fixiert. Möchtest du nun die dazugehörige Geradengleichung aufstellen, gibt es $22$ Möglichkeiten. Entweder du hast $22$ Punkte, einen Aufpunkt und einen weiteren durch den du die Gerade legen möchtest, oder du hast einen Punkt und einen Vektor, also einen Aufpunkt und einen Vektor der dir bereits die Richtung deiner Gerade vorgibt.

1.Gerade durch zwei Punkte $AA$ und $BB$:

Wähle als Aufpunkt den Punkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$. Da die Gerade durch beide Punkte gehen soll, überlegst du dir wie du zu dem Punkt $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$ von $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ aus kommst. Dazu musst du zu A den Verbindungsvektor von $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$, nämlich $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ dazuzählen. Wenn du den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}\backslash vec\{AB\}$ $11$ mal dazu zählst, erhälst du den Punkt $\vec{B}\backslash vec\{B\}$, nachdem du aber eine Gerade durch $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$ aufstellen möchtest addierst du den Verbindungsvektor beliebig oft dazu, denn so kannst du jeden Punkt auf der Gerade durch $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ erreichen. Das beliebigofte dazuzählen des Vektors drückst du durch eine Variable aus, also die Variable mal den Vektor. In der Regel nimmst du dafür Variablen wie $\lambda \backslash lambda$ oder $\mu \backslash mu$. Für die Variable darfst du Werte aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ einsetzen.

Die vollständige Geradengleichung lautet also:

$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}g:\backslash overrightarrow\{X\}=\backslash overrightarrow\{A\}+\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{AB\}$

2.Gerade durch einen Punkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und mit einem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$:

Wähle wieder den Aufpunkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und addiere zu ihm $\lambda \backslash lambda$ mal den Richtungsvektor, denn so erreichst du alle Punkte die in der angegebenen Richtung gesucht sind, weil du für $\lambda \backslash lambda$ wieder alle Werte aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$einsetzen kannst.

$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{v}g:\backslash overrightarrow\{X\}=\backslash overrightarrow\{A\}+\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{v\}$

Stelle die Geradengleichung für die Gerade $gg$ auf, die durch die Punkte $A(2\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }4)A(2|1|4)$ und $B(-1\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }2)B(-1|3|2)$ läuft.

1. Wähle als Aufpunkt für die Gerade den Punkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ aus.

2. Berechne nun den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$.

3. Stelle die Geradengleichung auf.

Zu 1.)

Aufpunkt der Geradengleichung ist $\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{A\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Zu 2.)

Zu 3.)

Stelle die Geradengleichung für die Gerade $hh$ auf, die durch den Punkt $A(1\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }2)A(1|3|2)$ läuft und die Richtung $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ hat.

1. Wähle als Aufpunkt für die Gerade den Punkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ aus.

2. Stelle die Geradengleichung auf.

Zu 1.)

Aufpunkt der Geradengleichung ist $\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{A\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Zu 2.)

$h:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)h:\backslash overrightarrow\{X\}=\backslash overrightarrow\{A\}+\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{v\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Um eine Geradengleichung aufzustellen brauchst du immer einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor. Der Richtungsvektor ist entweder bereits angegeben oder du musst den Verbindungsvektor zwischen $22$ Punkten aufstellen.

Wenn du den Aufpunkt und einen Richtungsvektor hast, addierst du den Richtungsvektor $\lambda \backslash lambda$ mal zu dem Aufpunkt dazu und erhältst eine Geradengleichung.