7Koordinatenform der Ebene (Kurs mit integrierten Aufgaben) (4|5)

Beispiel: Koordinatenform ermitteln

Im ersten Beispiel hatten wir folgenden Koordinatenform:

Die Ebene sieht so aus:

Ein Stützvektor der Ebene ist der Vektor OA mit (4,0,0). Der Normalenvektor der Ebene muss auf orthogonal auf der Ebene stehen, er muss als auch orthogonal zu beiden Spannvektoren sein. Als Spannvektoren können wir hier gut die Vektoren AC mit (-4;0,1) und BC mit (0,-2,1) wählen. Der Normalenvektor wird mit dem Vektorprodukt bestimmt und ist: n = (2,4,8).

Das Skalarprodukt von Stützvektor und Normalenvektor ist hier:

Also lautet eine Ebenengleichung:

Beide Ebenengleichungen unterscheiden sich nur um den Faktor 2. Offensichtlich gelten für die Koordinatenform die gleichen Rechengesetze wie für Gleichungen.

Eine Ebene in Koordinatenform hat also unendlich viele Darstellungsmöglichkeiten, die sich nur durch Äquivalenzumformungen unterscheiden.

Dies ist aber auch logisch, denn der Normalenvektor einer Ebene hat ja keine vorgegebene Länge. Der Normalenvektor von $E_{1}E\_1$ ist $n_1=(\mathrm{1,2},4)n\_1=(1\{,\}2,4)$ und der Normalenvektor von $E_{2}E\_2$ ist $n_2=(\mathrm{2,4},8)n\_2=(2\{,\}4,8)$. Da der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist, unterscheiden sich beide Vektoren auch nur in der Länge! Auch der Vektor $n_3=(-4,-8,-16)n\_3=(-4,-8,-16)$ ist ein Normalenvektor der Ebene. Er ist nur dreimal so lang und zeigt in die andere Richtung. Mit ihm kann auch wieder eine Ebenengleichung für die gleiche Ebene aufgestellt werden. Dazu muss er skalar mit einem Stützvektor multipliziert werden. In der Darstellung oben ist zu sehen, dass auch $OB=(\mathrm{0,2},0)OB\; =(0\{,\}2,0)$ so ein Stützvektor ist. Also gilt:

Also ist eine dritte Gleichung der Ebene E: