8Koordinatenform der Ebene (Kurs mit integrierten Aufgaben) (5|5)

Eine Koordinatenform aus einer Darstellung ermitteln

Im folgenden Video kannst du dir noch einmal angucken, wie in einfachen Fällen zu einer gegebenen Ebene in einem Koordinatensystem eine Koordinatenform aufgestellt werden kann:

Du kannst mit folgenden Links das Ermitteln einer Koordinatenform üben:

https://learningapps.org/watch?v=p026g1uzn18

https://learningapps.org/watch?v=purt9o92518

Besondere Lage von Ebenen im Koordinatensystem an ihrer Koordinatenform erkennen

Beispiel 1Betrachte folgendes Bild genau. Die x-Achse ist rot und zeigt nach links, die y-Achse ist grün.

Welche besondere Lage hat diese Ebene im Koordinatensystem?

Beachte: Alle drei schwarz eingezeichneten Vektoren sind Normalenvektoren der Ebene. Es ist egal, wo sie anfangen und es ist egal wie lang sie sind. Ein Normalenvektor ist lauf Definition ein Normalenvektor, wenn er orthogonal, also senkrecht, auf der Ebene steht. Kannst du ihre Koordinaten angeben?

Kannst du noch einen Stützvektor ablesen und die Koordinatenform der Ebene angeben?

Der dargestellte Gedankengang funktioniert auch andersherum. Wenn du weißt, dass die Ebene durch die Gleichung $E: x=4$ beschrieben wird, weißt du, kannst du den Normalenvektor ablesen. Er lautet $n=(1/0/0)$. Nun kannst du dir n vorstellen oder in eine Skizze einzeichnen. n liegt auf jeden Fall parallel zur x-Achse. Also steht die Ebene senkrecht zu dieser Achse. Also liegt die Ebene parallel zur y-z-Ebene.

Beispiel 2Betrachte diesmal zuerst die Ebenengleichung:

Diesmal fehlt nur eine Koordinate des Normalenvektors. Er lautet: $n = (0/1/1)$. Berechne mal den Spurpunkt mit der x-Achse:

Was bedeutet das anschaulich? Eine Ebene, die keinen Spurpunkt mit einer Achse hat, muss zu dieser Achse parallel liegen.

Betrachte nun folgende Darstellung dieser Ebene im Applet genau:

Wieder ist die x-Achse rot und die y-Achse ist grün. Der Normalenvektor ist schwarz eingezeichnet. Der Normalenvektor $n=(0/1/1)$ geht überhaupt nicht in Richtung der x-Achse. Da die Ebene senkrecht zum Normalenvekor steht, bedeutet dies, dass die Ebene aber die ganze Zeit in Richtung der x-Achse verläuft!

Also kann auch dieses besondere Lage der Ebene sofort an der Ebenengleichung erkannt werden.

Verallgemeinerung

Eine Ebene kann allgemein beschrieben werden durch:

Dabei hat der Normalenvektor die Koordinaten $n=(n_1/n_2/n_3)$. Diese Koordinaten nennt man auch Koeffizienten.

1. FALL: Sind zwei der drei Koeffizienten gleich Null,

1. FALL: Ist einer der drei Koeffizienten gleich Null,

Du kannst die besondere Lage von Ebenen gut mit folgender learningapp üben:

https://learningapps.org/display?v=pzbyyy85n16