9Parameterform in Koordinatenform

Im Folgendem siehst du anhand eines Beispiels, wie du nun eine gegebene Parameterform in eine Koordinatenform umwandeln kannst.

Als Beispiel hier eine Ebene in Parameterform.

$E:\vec{X}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$

Die allgemeine Koordinatenform lautet:

Um sie aufzustellen, braucht man nur zwei Informationen:

1.) Einen Normalenvektor, der auf der Ebene senkrecht steht.2.) Eine Zahl d, die durch das Skalarprodukt aus Stützvektor und Normalenvektor berechnet wird.

Wenn wir diese Informationen beisammen haben, setzt man sie in die allgemeine Koordinatenform ein.

Nun die Bestimmung wieder mithilfe des Beispiels oben:

zu 1.) Den Normalenvektor kann man in solchen einfachen Fällen mit dem Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren berechnen:

zu 2.) Nun muss man noch $d$ mit dem Skalarprodukt von Stützvektor und Normalenvektor berechnen. Der Stützvektor ist in diesem Fall schon gegeben und kann übernommen werden. Er hat die Punktkoordinaten: $A (2{,}1,0)$.

So, jetzt sind alle Informationen beisammen und man kann sie in die allgemeine Koordinatenform einsetzen:

fertig ;-)