Inhalt des Kurses

In diesem Kurs lernst du die ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen kennen.

Vorkenntnisse

Du solltest bereits die natürlichen Zahlen und die Grundrechenarten kennen.

Kursdauer

Der Kurs dauert ungefähr 1 Stunde.

Neben den natürlichen Zahlen triffst du im Alltag auch auf folgende Darstellungen:

Wie du siehst, gibt es Zahlen, wie zum Beispiel "$-1-1$" beim Aufzug, die wir noch nicht aus den natürlichen Zahlen kennen.

Negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Wie können diese negativen Zahlen im bisher bekannten Zahlenstrahl dargestellt werden?

Zahlengerade

Der Zahlenstrahl muss für die negativen Zahlen ins Negative verlängert werden.

Diesen verlängerten Zahlenstrahl nennt man Zahlengerade.

Zahlengerade mit den negativen Zahlen in Lila, der 0 in Orange und den natürlichen Zahlen in Grün.

Beachte: Nur am rechten Ende der Zahlengeraden befindet sich ein Pfeil.

Der Pfeil zeigt immer in die Richtung der größeren Zahlen und die negativen Zahlen sind, wie auch die negativen Temperaturen, kleiner als die positiven.

Die ganzen Zahlen

Der bekannte Zahlenraum der natürlichen Zahlen wurde nun um die negativen Zahlen erweitert:

Ganze Zahlen bestehen aus den negativen Zahlen, der Null und den positiven Zahlen.

Das Symbol für die ganzen Zahlen ist $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$.

$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3;-2;-1;0;1;2;\dots \}\backslash mathbb\{Z\}=\backslash left\backslash \{\backslash dots,-3;-2;-1;0;1;2;\backslash dots\backslash right\backslash \}$

Weiterhin gilt für den Größenvergleich von Zahlen die einfache Regel:

Beispielaufgabe: Welche Zahl ist größer?

$-10-10$ oder $55$ ?

Lösung:

• -10 ist als negative Zahl in jedem Fall kleiner als die positive Zahl 5

• 5 liegt auf der Zahlengeraden weiter rechts und ist somit größer.

$00$ oder $-2000-2000$ ?

Lösung:

Auch hier gilt: Eine negative Zahl liegt immer weiter links auf der Zahlengeraden als eine positive Zahl oder als die Null. Somit ist 0 die größere Zahl.

$-7-7$ oder $-5-5$ ?

Lösung:

• -7 liegt auf der Zahlengeraden weiter links als -5 und ist somit die kleinere Zahl.

Richtig oder falsch?

Eine negative Zahl ist also aus zwei Komponenten aufgebaut:

Schreibweise für den Betrag

Möchtest du explizit den Betrag einer Zahl beschreiben, gibt es dafür folgende Schreibweise: $\mid \dots \mid \backslash left|\backslash dots\backslash right|$

Beispiele:

Nun hast du die ganzen Zahlen bereits kennengelernt.

Doch wie hängt diese Zahlmenge mit den natürlichen Zahlen zusammen und was ändert sich bei Betrachtung der Menge der ganzen Zahlen im Vergleich zu den natürlichen Zahlen?

Versuche hier zunächst selbst Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu finden.

Vielleicht hast du ja bereits ein paar der folgenden Unterschiede und Gemeinsamkeiten gefunden.

Gemeinsamkeiten

Unterschiede

In diesem Kurs konntest du sehen, dass im Alltag auch negative Zahlen auftreten, z.B. beim Thermometer.

Deshalb wurde eine neue Zahlmenge eingeführt, die nun auch die negativen Zahlen enthält; das ist die…

Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$

Diese ist folgendermaßen definiert:

Also $\mathbb{Z}=\{\dots ,-3;-2;-1;0;1;2;\dots \}\backslash mathbb\{Z\}=\backslash left\backslash \{\backslash dots,-3;-2;-1;0;1;2;\backslash dots\backslash right\backslash \}$

Außerdem hast du gesehen, dass $\mathbb{N}\backslash mathbb\{N\}$ in $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ enthalten ist.

Allerdings gilt in $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ nicht mehr alles, was in $\mathbb{N}\backslash mathbb\{N\}$ noch galt. Hierzu zählt zum Beispiel, dass es in $\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$ kein kleinstes Element mehr gibt.

Größenvergleich

Ordne folgende Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten.

Betrag

Berechne folgende Ausdrücke:

a)

b)