Aufgaben zu linearer Unabhängigkeit

Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter $r$ vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren $\vec{f}$ und $\vec{g}$.

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für $k$ finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.

$\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}$

Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für $k$ zu finden.

$\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}$

$k= -\frac{1}{2}$ ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um $\vec{f} = k\cdot \vec{g}$ zu schreiben.

Beachte: Bis jetzt gilt dieses $k=-\frac12$ nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete $k$ die Gleichung $\vec{f} = k\cdot\vec{g}$ löst

Multipliziere dafür $k= -\frac{1}{2}$ mit $\vec{g}$ um nachzuprüfen, ob tatsächlich $\vec{f}$ rauskommt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr}\vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix}\end{array}$

Die Vektoren $k\cdot\vec{g}$ und $\vec{f}$ sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von $r$ finden, für die $\vec{f}$ und $\vec{g}$ parallel sind.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{-2}\\2\end{pmatrix}\end{aligned}$

Diese Gleichheit ist nur für $r = -2$ erfüllt. Nur dann gilt also $\vec{f} = k\cdot \vec{g}.$

$\Rightarrow$ Für $r = -2$ sind $\vec{f}$ und $\vec{g}$ parallel.

Bemerkung zum Parameter $r$

Für alle anderen Werte von $r$ können die Vektoren $\vec{f}$ und $\vec{g}$ nicht parallel sein.

Beispiel: Wenn du für $r$ Null einsetzt erhältst du die Vektoren

$\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}$

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:

$\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}$

Es gilt $0 = 0\cdot 4$.

Damit also $\vec{f} = k\cdot \vec{g}$ überhaupt gelten kann müsste also $k=0$ sein. Dann wäre aber $k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich $\vec{f}$.

$\Rightarrow$ Für manche Werte von $r$ sind $\vec{f}$ und $\vec{g}$ nicht parallel.

Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von $r$ sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von $r$ sind sie nicht parallel.