Aufgaben zu linearer Unabhängigkeit

Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter $r$ vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{f}$ und $\overrightarrow{g}$.

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für $k$ finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.

$\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{𝟏}/\mathrm{𝟔}\\ r\\ 2\end{array}\right),\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{𝟏}/\mathrm{𝟑}\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für $k$ zu finden.

$${\displaystyle -\frac{1}{6}:\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}}$$

$k=-\frac{1}{2}$ ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um $\overrightarrow{f}=k\cdot \overrightarrow{g}$ zu schreiben.

Beachte: Bis jetzt gilt dieses $k=-\frac{1}{2}$ nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete $k$ die Gleichung $\overrightarrow{f}=k\cdot \overrightarrow{g}$ löst

Multipliziere dafür $k=-\frac{1}{2}$ mit $\overrightarrow{g}$ um nachzuprüfen, ob tatsächlich $\overrightarrow{f}$ rauskommt.

$\begin{array}{lcrrr}k\cdot \overrightarrow{g}& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}1/3\\ 4\\ -4\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}-1/6\\ -2\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{lcr}\overrightarrow{f}& =& \left(\begin{array}{c}-1/6\\ r\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

Die Vektoren $k\cdot \overrightarrow{g}$ und $\overrightarrow{f}$ sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von $r$ finden, für die $\overrightarrow{f}$ und $\overrightarrow{g}$ parallel sind.

$\begin{array}{rlrlrl}& \left(\begin{array}{c}-1/6\\ 𝐫\\ 2\end{array}\right)& & \stackrel{!}{=}& & \left(\begin{array}{c}-1/6\\ -\mathrm{𝟐}\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

Diese Gleichheit ist nur für $r=-2$ erfüllt. Nur dann gilt also $\overrightarrow{f}=k\cdot \overrightarrow{g}.$

$\Rightarrow$ Für $r=-2$ sind $\overrightarrow{f}$ und $\overrightarrow{g}$ parallel.

Bemerkung zum Parameter $r$

Für alle anderen Werte von $r$ können die Vektoren $\overrightarrow{f}$ und $\overrightarrow{g}$ nicht parallel sein.

Beispiel: Wenn du für $r$ Null einsetzt erhältst du die Vektoren

$\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{c}-1/6\\ 0\\ 2\end{array}\right),\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{c}1/3\\ 4\\ -4\end{array}\right)$

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:

$\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{c}-1/6\\ \mathrm{𝟎}\\ 2\end{array}\right),\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{c}1/3\\ \mathrm{𝟒}\\ -4\end{array}\right)$

Es gilt $0=0\cdot 4$.

Damit also $\overrightarrow{f}=k\cdot \overrightarrow{g}$ überhaupt gelten kann müsste also $k=0$ sein. Dann wäre aber $k\cdot \overrightarrow{g}=0\cdot \left(\begin{array}{c}1/3\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich $\overrightarrow{f}$.

$\Rightarrow$ Für manche Werte von $r$ sind $\overrightarrow{f}$ und $\overrightarrow{g}$ nicht parallel.

Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von $r$ sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von $r$ sind sie nicht parallel.