Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel $p : y = - (x - 1)^{2} + 1$ an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentenberechnung

Symmetrieachse

$p : y = - (x - 1)^{2} + 1$

Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.

$S (1 | 1)$

$\Rightarrow x = 1$ ist Symmetrieachse

Aufstellen der Geradengleichungen

Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.

$S_{k} (1 | k)$ sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.

Stelle eine Geradengleichung $g$ durch den Punkt $S_{k}$ mit variabler Steigung $m$ auf.

$g : \frac{y - k}{x - 1}$	$=$	$m$	$\cdot (x - 1)$
$y - k$	$=$	$m (x - 1)$	$+ k$
$y$	$=$	$m x - m + k$

Schnittpunkt berechnen mit der Parabel

Schneide die Gerade $g$ mit der Parabel $p$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$m x - m + k$
	↓	Löse die Klammer auf.
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$m x - m + k$	$- m x + m - k$
$- x^{2} + 2 x - m x + m - k$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
	↓	Fasse zusammen
$x^{2} + (m - 2) x + (k - m)$	$=$	$0$

Ausnutzen der Bedingung, dass die Tangente und Parabel nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben

Damit die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $p$ ist, dürfen sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. In diesem Fall muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein.

Setze die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der quadratischen Gleichung

$x^{2} + (m - 2) x + (k - m) = 0$ gleich null.

${(m - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (k - m)$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $m$ auf.
$m^{2} - 4 m + 4 - 4 k + 4 m$	$=$	$0$
$m^{2} + 4 - 4 k$	$=$	$0$	$+ 4 k - 4$
$m^{2}$	$=$	$4 k - 4$
	↓	Klammere $4$ aus.
$m^{2}$	$=$	$4 (k - 1)$	$\sqrt{}$
$m_{1,2}$	$=$	$\pm 2 \sqrt{k - 1}$

Bedingung der senkrechten Tangenten

Beachte jetzt die gestellte Aufgabe:

Die beiden Tangenten für $m_{1}$ bzw. $m_{2}$ sollen aufeinander senkrecht stehen.

Es muss also gelten: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

$(+ 2 \sqrt{k - 1}) \cdot (- 2 \sqrt{k - 1})$	$=$	$- 1$
$- 4 (k - 1)$	$=$	$- 1$	$: (- 4)$
$k - 1$	$=$	$0,25$	$+ 1$
$k$	$=$	$1,25$

Lösungen

Mit $k = 1,25$ folgt $S_{k} (1 | 1,25)$ .

Setze $k = 1,25$ in $m_{1 / 2} = \pm 2 \sqrt{k - 1}$

$m_{1} = + 1$ und $m_{2} = - 1$ .

Gib die Tangentengleichungen an.

$t_{1} : \frac{y - 1,25}{x - 1}$	$=$	$+ 1$
$t_{1} : y$	$=$	$x + 0,25$

$t_{2} : \frac{y - 1,25}{x - 1}$	$=$	$- 1$
$t_{2} : y$	$=$	$- x + 2,25$

Koordinaten der Schnittpunkte / Berührpunkte

Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$t_{1} \cap p$

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$x + 0,25$
	↓	Klammer auflösen.
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$x + 0,25$	$- x - 0,25$
$- x^{2} + x - 0,25$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - x + 0,25$	$=$	$0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
${(x - 0,5)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$x$	$=$	$0,5$

Setze $x = 0,5$ in $t_{1} : y = x + 0,25$ ein:

$y = 0,5 + 0,25 = 0,75$

$\Rightarrow A (0,5 | 0,75)$

$ t_{2} \cap p$

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$- x + 2,25$
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$- x + 2,25$	$+ x - 2,25$
$- x^{2} + 3 x - 2,25$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - 3 x + 2,25$	$=$	$0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
${(x - 1,5)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$x$	$=$	$1,5$

Setze $x = 1,5$ in $t_{2} : y = - x + 2,25$ ein:

$y = - 1,5 + 2,25 = 0,75$

$\Rightarrow B (1,5 | 0,75)$

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