Aufgaben zur Pyramide

Hier findest du Aufgaben zu Pyramiden. Übe, deren Volumen und Kantenlängen zu berechnen.

1
Die Cheops-Pyramide hat ungefähr die Länge 230m, die Breite 230m und die Höhe 139m. Wie groß ist ihr Volumen?
m³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Gegeben: $l=230\,\mathrm m$ $b=230\,\mathrm m$ $h=139\,\mathrm m$
Gesucht: $V = ?$
Du brauchst die Formel für das Volumen einer Pyramide.
$\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Das ist die Formel für eine Pyramide. In diese Formel kannst du dann die Zahlen einsetzen.
$\displaystyle V=\frac13\cdot(230\,\mathrm m)^2\cdot139\,\mathrm m$
Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.
$\displaystyle V=2\,451\,033\,\mathrm m^3$
2
Gegeben ist eine gerade Pyramide. Die Grundfläche der Pyramide ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=3\,\mathrm{cm}$ und $b=4\,\mathrm{cm}$ . Die Höhe $h$ der Pyramide beträgt $h=7\,\mathrm{cm}$ .
Berechne das Volumen und die Kantenlänge der Pyramide.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen und Kantenlänge einer Pyramide
Berechne zunächst das Volumen der Pyramide.
$V=\frac13G\cdot h$
$G=a\cdot b=3\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}^2$
$V=\frac13\cdot12\,\mathrm{cm}^2\cdot7\,\mathrm{cm}=28\,\mathrm{cm}^3$
Das Volumen der Pyramide beträgt $28\,\mathrm{cm}^3$ .
Berechne nun die Kantenlänge der Pyramide.
Für die Berechnung der Kantenlänge musst du wissen, dass die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt.
Berechne die Länge der Diagonale mithilfe des Satzes des Pythagoras.
$d^2=a^2+b^2=(3\,\mathrm{cm})^2+(4\,\mathrm{cm})^2 \qquad\quad$ Ziehe die Wurzel.
$d^2=9\,\mathrm{cm}^2+16\,\mathrm{cm}^2=25\,\mathrm{cm}^2$
$d=\sqrt{25\,\mathrm{cm}^2}=5\,\mathrm{cm}$
$d'=\frac d2$
Zur Berechnung der Kantenlänge $k$ benutzt du wieder den Satz des Pythagoras.
$k^2={(d')}^2+h^2$
$k^2=(\frac{5\,\mathrm{cm}}2)^2+(7\,\mathrm{cm})^2$
$k^2=6{,}25\,\mathrm{cm}^2+49\,\mathrm{cm}^2=55{,}25\,\mathrm{cm}^2$
$k=\sqrt{55{,}25\,\mathrm{cm}^2}\approx7{,}43\,\mathrm{cm}$
Die Kantenlänge der Pyramide beträgt $\approx7{,}43\,\mathrm{cm}$ .
3
Eine Pyramide hat eine dreieckige Grundfläche. Die Grundseite des Dreiecks hat eine Länge von $g = 7 \,\text{cm}$ und die dazugehörige Höhe beträgt $b = 3 \,\text{cm}$ . Die Pyramide besitzt eine Höhe $h = 12 \,\text{cm}$ . Berechne das Volumen der Pyramide.
cm³

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen der Pyramide kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\displaystyle V_{\text{Pyramide}} = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
G steht für die Grundfläche. Aus der Fragstellung weißt du, dass die Grundfläche ein Dreieck ist. Nun kannst du den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} G &=& A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot b \\\\ G &=& \dfrac{1}{2} \cdot 7 \,\text{cm} \cdot 3 \,\text{cm} = 10{,}5 \,\text{cm}^2 \end{array}$
Um das Volumen zu berechnen, brauchst du jetzt nur noch die Höhe und den Grundwert in die Formel einzusetzen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide}} &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\\\ V_{\text{Pyramide}} &=& \dfrac{1}{3} \cdot 10{,}5 \,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 42 \,\text{cm}^3 \end{array}$
Daraus folgt, dass das Volumen der Pyramide $42 \,\text{cm}^3$ beträgt.
4
Konstruiere das Netz einer geraden quadratischen Pyramide mit einer Grundkantenlänge $\mathrm{a}=4\; \text{cm}$ und einer Seitenkantenlänge $\mathrm{s}=6\; \text{cm}$ . Baue anschließend ein Papiermodell dieser Pyramide.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gerade quadratische Pyramide
Strategie 1:
Beginne mit dem Quadrat, dessen Grundkantenlänge $\mathrm{a}=4\; \text{cm}$ gegeben ist. Dann musst du die vier Seitenflächen mit einer Seitenkantenlänge von $\mathrm{s}=6\; \text{cm}$ so anordnen, dass sich das Netz zu einer Pyramide falten lässt. Setze an alle vier Seiten des Quadrates das Dreieck an.
Strategie 2:
Beginne mit dem Mantel der Pyramide. Zeichne vier gleichschenklige Dreiecke, die mit ihren Seitenkanten aneinandergrenzen. Die Schenkel der Dreiecke sind $\mathrm{s}=6\; \text{cm}$ lang und die Basis ist $\mathrm{a}=4\; \text{cm}$ lang. Dann kannst du an ein beliebiges Dreieck das Quadrat zeichnen.
Lösung nach Strategie 1
1. Zeichne das Quadrat mit $\mathrm{a}=4\; \text{cm}$ . Hier sind die Ecken mit $A, B, C$ und $D$ bezeichnet worden.
2. Zeichne je einen Kreisbogen mit $\mathrm{r}=6\; \text{cm}$ z.B. um die Punkte $D$ und $C$ . Die beiden Kreisbögen schneiden sich im Punkt $S$ .
3. Verbinde $S$ mit $D$ und $S$ mit $C$ . Das erste Pyramidendreieck ist fertig.
Da die Pyramide vier Seitenflächen hat, musst du die Punkte $2.$ und $3.$ auf die Seiten $\left[BC\right]$ , $\left[AB\right]$ und $\left[DA\right]$ anwenden.
Dein Pyramidennetz ist fertig.
Lösung nach Strategie 2
1. Zeichne einen beliebigen Punkt und nenne ihn $S$ .
2. Zeichne einen Kreis mit $\mathrm{r}=6\; \text{cm}$ (entspricht der Länge der Seitenkanten der Pyramide) um $S$ , da alle Eckpunkte der vier Dreiecke auf diesem Kreis liegen müssen.
3. Markiere auf dem Kreis einen beliebigen Punkt $A$ .
4. Zeichne einen Kreis um $A$ mit $\mathrm{r}=4\; \text{cm}$ (das ist die Länge der Basis der vier Dreiecke).
5. Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $B$ .
6. Verbinde $A$ mit $B$ , $S$ mit $A$ und $S$ mit $B$ .
Das erste Pyramidendreieck des Mantels ist fertig.
Zur besseren Übersichtlichkeit werden einige Hilfslinien bei den nächsten Konstruktionsschritten weggelassen.
7. Zeichne einen Kreis um $B$ mit $\mathrm{r}=4\; \text{cm}$ .
8. Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $C^{'}$ .
9. Verbinde $S$ mit $C^{'}$ und $B$ mit $C^{'}$ .
Das zweite Pyramidendreieck des Mantels ist fertig.
Wiederhole die entsprechenden Konstruktionsschritte für das dritte und schließlich vierte Pyramidendreieck.
10. Der Pyramidenmantel ist fertig.
11. Ergänze die Seite $\left[AB\right]$ zu einem Quadrat.
Dein Pyramidennetz ist fertig.
(Ohne Hilfslinien.)
Alternative Lösung 2
Statt der Seite $\left[AB\right]$ kannst du das Quadrat auch an eine andere Grundseite des Pyramidenmantels anfügen.
11. Ergänze z.B. die Seite $\left[BC\right]$ zu einem Quadrat.
Dein Pyramidennetz ist fertig.
Papiermodell der Pyramide nach Strategie 1
Das Pyramidennetz mit Klebelaschen für den Zusammenbau.
Grundgedanke:
Die Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide ist ein Quadrat. Die Mantelfläche der Pyramide besteht aus den Seitenflächen. Hier sind die Seitenflächen vier gleichschenklige Dreiecke. In der folgenden Skizze sieht du ein Beispiel für so ein Netz. Du musst dir nun überlegen, wie du das Netz aufbaust.