Aufgaben zur Vierfeldertafel - lernen mit Serlo!

Oma hat für ihre Familie insgesamt 80 Plätzchen gebacken und in kleine Tütchen verpackt.

Insgesamt haben 48 der Plätzchen einen Überzug aus Schokolade, 20 haben eine Füllung aus Omas selbstgemachter Erdbeermarmelade. Unter diesen 48 bzw. 20 Plätzchen gibt es 12 Plätzchen, die sogar beides haben: Schokoladenüberzug und Marmeladenfüllung.

Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Zuerst legst du zwei Ereignisse fest, anhand welcher du später deine Vierfeldertafel erstellen wirst. Welche Ereignisse gibt es? In der Aufgabenstellung werden Plätzchen mit Schokoladenüberguss sowie mit Marmeladenfüllung genannt. Es gibt aber auch Plätzchen, die beide Eigenschaften erfüllen, also mit Marmelade gefüllte Schokoplätzchen. Man unterscheidet zwischen Plätzchen mit bzw. ohne Schokolade sowie mit bzw. ohne Marmelade.

Dadurch entstehen die Ereignisse

$S$ : Das Plätzchen ist mit Schokolade überzogen.
$M$ : Das Plätzchen ist mit Marmelade gefüllt.

Zuerst erstellst du eine Vierfeldertafel: Die Zeilen sind die Ereignisse $S$ (mit Schokoladenüberzug) und $\overline S$ (ohne Schokoladenüberzug). Die Spalten sind die Ereignisse $M$ (mit Marmeladenfüllung) und $\overline M$ (ohne Marmeladenfüllung).

	$M$	$\overline M$
$S$
$\overline S$

Du weißt bereits, dass es insgesamt $80$ Plätzchen gibt. Daher ist $G=80$ .

Insgesamt sind $48$ dieser Plätzchen mit Schokolade überzogen, wohingegen $20$ eine Marmaladenfüllung haben. Daher ist $H(S)=48$ und $H(M)=20$ .

Du weißt außerdem, dass $12$ der Plätzchen mit Schokolade überzogen sind und eine Marmeladenfüllung haben. Gegeben ist also die Schnittmenge von $S$ und $M$ . Also weißt du auch $H(S\cap M)=12$ .

Diese Zahlen kannst du an den entsprechenden Stellen schon in die Tafel eintragen.

	$M$
$S$	$\color{#CC0000}{12}$	$\color{#CC0000}{48}$
$\overline{S}$
	$\color{#CC0000}{20}$	$\color{#CC0000}{80}$

$\displaystyle S$	$=$	$\displaystyle M+\overline{M}$
	↓	Da $\overline{M}$ als einziger Wert aus der Tabelle noch nicht ausgefüllt ist, stellst du danach um.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle S-M$
	↓	Dann setzt du die Werte aus der Tabelle einfach ein und rechnest aus.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 48-12$
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Trage im Anschluss den ausgerechneten Wert in die Tafel ein und überprüfe, ob der Wert in die Tafel passt und Sinn ergibt.

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$\color{#CC0000}{36}$	$48$
$\overline{S}$
	$20$		$80$

Nun solltest du eine Zeile oder Spalte aussuchen, in der bereits zwei Felder ausgefüllt sind. Du bist dann eigentlich frei, in welcher Reihenfolge du diese Werte ausrechnest. Es ist z.B. sinnvoll, erst "innerhalb" des Feldes ausrechnen, also $\overline{S} \cap M$ . Dann kannst du dich langsam an die Werte, die "außerhalb" liegen antasten. Denn es ist meistens einfacher, diese auszurechnen.

$\displaystyle \left(S\cap M\right)+\left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle M$
	↓	Stelle nach dem leeren Feld $\overline{S} \cap M$ um.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle M-\left(S\cap M\right)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle 20-12$
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Trage den gefundenen Wert in die Tabelle ein.

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$36$	$48$
$\overline{S}$	$\color{#CC0000}{8}$
	$20$		$80$

Da "innerhalb" des Feldes keine Zeile oder Spalte mit bereits zwei eingefüllten Feldern vorliegt, gehst du an das "Äußere" der Tafel. Die Reihenfolge, ob du zuerst $\overline{S}$ oder $\overline{M}$ ausrechnest, spielt erneut keine Rolle.

$\displaystyle S+\overline{S}$	$=$	$\displaystyle 80$
	↓	Stelle nach dem gesuchten Wert um.
$\displaystyle \overline{S}$	$=$	$\displaystyle 80-S$
	↓	Setze den Wert für $S$ ein und rechne aus.
$\displaystyle \overline{S}$	$=$	$\displaystyle 80-48$
$\displaystyle \overline{S}$	$=$	$\displaystyle 32$

$\displaystyle M+\overline{M}$	$=$	$\displaystyle 80$
	↓	Stelle nach dem gesuchten Wert um.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 80-M$
	↓	Setze den Wert für $M$ ein und rechne aus.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 80-20$
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 60$
	↓	Trage die soeben ausgerechneten Werte $\overline{S}$ und $\overline{M}$ in die Verfeldertafel ein.

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$36$	$48$
$\overline{S}$	$8$		$\color{#CC0000}{32}$
	$20$	$\color{#CC0000}{60}$	$80$

Rechne als letztes den fehlenden Wert aus und trage ihn ebenfalls in die Tabelle ein.

$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle \left(S\cap\overline{M}\right)+\left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$
	↓	Stelle nach dem gesuchten Wert um.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$	$=$	$\displaystyle \overline{M}-\left(S\cap\overline{M}\right)$
	↓	Setze die Werte ein und rechne aus.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$	$=$	$\displaystyle 60-36$
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$	$=$	$\displaystyle 24$

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$36$	$48$
$\overline{S}$	$8$	$\color{#CC0000}{24}$	$32$
	$20$	$60$	$80$

Überprüfe jetzt unbedingt die einzelnen Zeilen und Spalten. Dadurch kannst du sehen, ob die Werte deiner Vierfelder stimmen.

Passt deine Tafel? Super, du hast es geschafft und die Aufgabe gut gelöst! :-)

Für Fortgeschrittene: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Nun zu den Wahrscheinlichkeiten: Du weißt bereits, dass es insgesamt $80$ Plätzchen gibt und die Anzahl an den speziellen Sorten. Diese kannst du auch bereits in Form von Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel eintragen.

Dabei stehen dir zwei Möglichkeiten zur Auswahl: Du schreibst am Anfang die Ereignisse als Wahrscheinlichkeit der Ereignissen auf. Oder du rechnest die Tabelle mit absoluten Häufigkeiten in relative Häufigkeiten um.

Relative Häufigkeit von Anfang an ausrechnen

Du hast bereits gegeben, wie viele Plätzchen es von den insgesamten $80$ Plätzchen gibt. Also kannst du auch schreiben:

$P(S) = \frac{48}{80} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(M) = \frac{20}{80} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$P(S \cap M) = \frac{12}{80} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

Diese Werte trägst du nun in die Tafel ein.

	$M$
$S$	$\color{#CC0000}{\frac{3}{20}}$	$\color{#CC0000}{\frac{3}{5}}$
$\overline{S}$
	$\color{#CC0000}{\frac{1}{4}}$	$1$

Anschließend rechnest du die fehlenden Werte aus den (noch) leeren Feldern wie oben aus. Am Ende kommst du auf die folgende Vierfeldertafel:

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$\frac{3}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{3}{5}$
$\overline{S}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{20}$	$\frac{8}{20}$
	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$1$

Überprüfe auch hier, ob die Werte stimmen.

Vierfeldertafel am Ende umrechnen

Das geht ganz einfach: Du teilst den Wert aus einem beliebigen Feld durch die Gesamtanzahl. Sie ist in diesem Fall $80$ . Dieses Verfahren führst du für alle Felder durch und erhälst so wieder die obige Tafel.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.