Aufgaben zum Trapez - lernen mit Serlo!

Winkelberechnungen am Trapez

Im Trapez $A B C D$ gelte $A B ‖ C D$ , $α = 32 °$ , $γ = 75 °$ . Berechne $β$ und $δ$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $A B ‖ C D$
$α = 32 °$
$γ = 75 °$
Gesucht: $β, δ$
Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
$\begin{array}{rcl} 32 ° + δ & = 180 ° | - 32 ° \\ δ & = 148 ° \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 75 ° + β & = 180 ° | - 75 ° \\ β & = 105 ° \end{array}$
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Im Trapez $A B C D$ gelte $A B ‖ C D$ , $A D ⟂ B C$ , $α = 20 °$ . Berechne $β, γ, δ$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $A B ‖ C D$ (Die Figur ist ein Trapez)
$A D ⟂ B C$ (im Punkt E steckt ein
rechter Winkel)
$α = 20 °$
Gesucht: $β, γ, δ$
Erweitert man die Figur $A, B, C, D$ indem man die Strecken $A D$ und $B C$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$ , wie im Bild. Die Information $A D ⟂ B C$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.
Winkel $β$
Die Figur $A, B, E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180 °$ .
$α + β + 90 °$ $=$ $180 °$
↓
$α = 20 °$
$20 ° + β + 90 °$ $=$ $180 °$ $- 110 °$
$β$ $=$ $70 °$
Winkel $δ$
Oberhalb von $δ$ ist ein Stufenwinkel von $α$ . Dieser Winkel könnte zum Beispiel $ϵ$ genannt werden. Es gilt:
$α = ϵ$
Da $δ$ und $ϵ$ zudem Nebenwinkel sind, gilt:
$δ + ϵ$ $=$ $180 °$
↓
$ϵ = α = 20 °$
$δ + 20 °$ $=$ $180 °$ $- 20 °$
$δ$ $=$ $160 °$
Winkel $γ$
In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360 °$ . Damit ist im Trapez:
$α + β + γ + δ$ $=$ $360 °$
$20 ° + 70 ° + γ + 160 °$ $=$ $360 °$ $- 250 °$
$γ$ $=$ $110 °$
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Die Winkel $δ$ und $β$ lassen sich direkt ermitteln. Überlege, welcher besondere Winkel oberhalb von $δ$ steckt und wie dieser mit $α$ zusammenhängt. Außerdem, wie ist die Winkelsumme in einem Dreieck?
Im Trapez $A B C D$ gelte: $A D ‖ B C, α = δ = 100 °$ . Berechne $β$ und $γ$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $A D ‖ B C$
$α = δ = 100 °$
Gesucht: $β, γ$
Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
$\begin{array}{rcl} 100 ° + β & = 180 ° | - 100 ° \\ β & = 80 ° \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 100 ° + γ & = 180 ° | - 100 ° \\ γ & = 80 ° \end{array}$
Anmerkung:
Das Trapez $A B C D$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[A B] = [C D]$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$α + β + 90 °$	$=$	$180 °$
	↓	$α = 20 °$
$20 ° + β + 90 °$	$=$	$180 °$	$- 110 °$
$β$	$=$	$70 °$

$δ + ϵ$	$=$	$180 °$
	↓	$ϵ = α = 20 °$
$δ + 20 °$	$=$	$180 °$	$- 20 °$
$δ$	$=$	$160 °$

$α + β + γ + δ$	$=$	$360 °$
$20 ° + 70 ° + γ + 160 °$	$=$	$360 °$	$- 250 °$
$γ$	$=$	$110 °$

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