Aufgaben zur Volumenberechnung

Ein Tetraeder hat eine Grundfläche, die durch die Eckpunkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ und $\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right)$ festgelegt ist. Die Spitze $S$ liegt mittig über $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .

Bestimme mögliche Koordinaten von $S$ so, dass das Volumen des Tetraeders $ABCS$ genau $51$ Volumeneinheiten ( $\text{VE}$ ) beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie

Gegeben:

$A(0|0|0)$ , $B(6|0|0)$ , $C(0|6|0)$

$V=51\text{VE}$

Überlege dir die Volumenformel.

Das Volumen kannst du mit der elementargeometrischen Formel $V=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h$ rechnen.

Vektoriell kannst du das Volumen auch über diese Formel bestimmen:

\displaystyle V=\frac{1}{6}\ \left |\overrightarrow{AS} \circ \left [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right ] \right |

Da du bisher nicht viele Informationen über den Punkt S hast, verwendest du am Besten die elementargeometrische Formel.

Grundfläche G berechnen

$G= A_{Dreieck}= \frac{1}{2} \ \left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right |$

Bestimme zunächst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

Setze in die Formel ein.

$\displaystyle A_{Dreieck}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left \| \begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix}\right \|$
	↓	Berechne zuerst das Kreuzprodukt.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left \| \begin{pmatrix} 0\\0\\36 \end{pmatrix} \right \|$
	↓	Berechne dann den Betrag des Vektors.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left \| \sqrt{0^2+0^2+36^2} \right \|$
	$=$	$\displaystyle 18$

Jetzt hast du die Grundfläche der Pyramide!

Setze das gegebene Volumen und die Grundfläche ein.

Berechnung der Höhe

Löse die elementargeometrische Volumenformel nach $h$ auf.

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle 3V$	$=$	$\displaystyle G\cdot h$	$\displaystyle :G$
$\displaystyle \frac{3V}{G}$	$=$	$\displaystyle h$

Setze das gegebene Volumen und die zuvor berechnete Grundfläche ein.

$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{3V}{G}$
	↓	Setze $V=51 \text{VE}$ und $G=A_\text{Dreieck}=18$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot51}{18}$
	$=$	$\displaystyle 8{,}5$

Bestimmen der Koordinaten von S

Bestimme den Höhenfußpunkt $M$ . Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über $\overrightarrow{AB}$ liegt.

Berechne den Mittelpunkt $\overrightarrow{M}$ der Strecke $\overline{AB}$ .

$A(0|0|0)$ , $B(6|0|0)$

$\displaystyle \overrightarrow{M}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right )$
	↓	Setze die Punkte $A$ und $B$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2} \left [ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix} \right ]$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix}$

Bringe den Höhenvektor auf die richtige Länge

Das Vektorprodukt liefert dir nicht nur eine Fläche, sondern auch einen Vektor, der auf beide Vektoren der Grundfläche senkrecht steht. Diese Eigenschaft muss die Höhe haben!

Allerdings hat der Vektor $\overrightarrow{h}=\begin{pmatrix} 0\\0\\36\end{pmatrix}$ noch nicht die richtige Länge!

Im Moment hat er die Länge $36\; LE$ , wir wollen nur $8{,}5\; LE$ .

Teile dafür durch die aktuelle Länge und multipliziere mit der gewünschten Länge.

$\overrightarrow{h}=\frac{8{,}5}{36}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\36 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\8{,}5\end{pmatrix}$

Setze den Vektor $\overrightarrow h$ an den Punkt $M$

$\displaystyle \overrightarrow{S}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{M} + \overrightarrow{h}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3\\0\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0\\0\\8{,}5\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3\\0\\8{,}5\end{pmatrix}$

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Welcher weitere Punkt $S$ erfüllt die Vorgabe, dass der Tetraeder ein Volumen von $51 \; VE$ hat und $M$ als Höhenfußpunkt besitzt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung in der analytischen Geometrie
Versuche dir die Situation erst vorzustellen:
Die Spitze des fertigen Tetraeders liegt über der Grundfläche $ABC$ .
Man bekommt das gleiche Volumen, wenn man vom Punkt $M$ aus nach unten statt nach oben geht.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{S_2}&=& \overrightarrow{M} - \overrightarrow{h}\\&=& \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\0\\8{,}5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\0\\-8{,}5\end{pmatrix}\end{array}$
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Grundfläche G berechnen

Berechnung der Höhe

Bestimmen der Koordinaten von S

Bestimme den Höhenfußpunkt MMM. Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über AB→\overrightarrow{AB}AB liegt.

Bringe den Höhenvektor auf die richtige Länge

Setze den Vektor h→\overrightarrow hh an den Punkt MMM

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Bestimme den Höhenfußpunkt $M$ . Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über $\overrightarrow{AB}$ liegt.

Setze den Vektor $\overrightarrow h$ an den Punkt $M$