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Aufgaben zur Volumenberechnung

Mit diesen Aufgaben kannst du ΓΌben, das Volumen von KΓΆrpern in einem Koordinatensystem zu berechnen.

  1. 1

    Berechne das Volumen des Parallelotops, das

    1. durch die PunkteΒ  A(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  B(5β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm B\left(5\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  C(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š5β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm C\left(0\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  D(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š5)\mathrm D\left(0\;\left|\;0\;\left|\;5\right.\right.\right) Β aufgespannt wird.

    2. durch die Punkte A(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  B(5β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm B\left(5\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  C(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š7β€…β€Šβˆ£β€…β€Š2)\mathrm C\left(0\;\left|\;7\;\left|\;2\right.\right.\right) Β ,Β  D(1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6)\mathrm D\left(1\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right) Β aufgespannt wird.

    3. durch die PunkteΒ  A(1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm A\left(1\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  B(3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm B\left(3\;\left|\;1\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  C(1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm C\left(1\;\left|\;3\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  D(1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3)\mathrm D\left(1\;\left|\;1\;\left|\;3\right.\right.\right) Β aufgespannt wird.

    4. durch die PunkteΒ  A(2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm A\left(2\;\left|\;2\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  B(4β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm B\left(4\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  C(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š4β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm C\left(0\;\left|\;4\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  D(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š5)\mathrm D\left(0\;\left|\;0\;\left|\;5\right.\right.\right) Β aufgespannt wird.

    5. durch die PunkteΒ  A(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’3β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1)\mathrm A\left(-2\;\left|\;-3\;\left|\;-1\right.\right.\right) Β ,Β  B(βˆ’5β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm B\left(-5\;\left|\;3\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  C(1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š4β€…β€Šβˆ£β€…β€Š2)\mathrm C\left(1\;\left|\;4\;\left|\;2\right.\right.\right) Β ,Β  D(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3)\mathrm D\left(-2\;\left|\;3\;\left|\;3\right.\right.\right) Β aufgespannt wird.

  2. 2

    Berechne das Volumen des Tetraeders, das

    1. durch die EckpunkteΒ  A(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  B(6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  C(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  D(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6)\mathrm D\left(0\;\left|\;0\;\left|\;6\right.\right.\right) Β gegeben ist.

    2. durch die EckpunkteΒ  A(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm A\left(-2\;\left|\;-2\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  B(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm B\left(-2\;\left|\;2\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  C(βˆ’1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š5β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm C\left(-1\;\left|\;5\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  D(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3)\mathrm D\left(0\;\left|\;-3\;\left|\;3\right.\right.\right) Β gegeben ist.

    3. durch die EckpunkteΒ  A(βˆ’3β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’4β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1)\mathrm A\left(-3\;\left|\;-4\;\left|\;-1\right.\right.\right) Β ,Β  B(βˆ’4β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’3)\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\;\left|\;-3\right.\right.\right) Β ,Β  C(βˆ’1β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’3β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’4)\mathrm C\left(-1\;\left|\;-3\;\left|\;-4\right.\right.\right) Β ,Β  D(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm D\left(-2\;\left|\;-1\;\left|\;0\right.\right.\right) Β gegeben ist.

    4. durch die EckpunkteΒ  A(4β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm A\left(4\;\left|\;1\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  B(4β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1)\mathrm B\left(4\;\left|\;6\;\left|\;-1\right.\right.\right) Β ,Β  C(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š4β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1)\mathrm C\left(0\;\left|\;4\;\left|\;-1\right.\right.\right) Β ,Β  D(5β€…β€Šβˆ£β€…β€Š5β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’2,5)\mathrm D\left(5\;\left|\;5\;\left|\;-2{,}5\right.\right.\right) Β gegeben ist.

  3. 3

    Berechne das Volumen der Pyramide, die

    1. durch die EckpunkteΒ  A(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  B(6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  C(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right) Β ,Β  D(6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0)\mathrm D\left(6\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right) Β und die SpitzeΒ  S(3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š3β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6)\mathrm S\left(3\;\left|\;3\;\left|\;6\right.\right.\right) Β gegeben ist.

    2. durch die EckpunkteΒ  A(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  B(βˆ’4β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1)\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\;\left|\;-1\right.\right.\right) Β ,Β  C(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Š6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm C\left(-2\;\left|\;6\;\left|\;1\right.\right.\right) Β ,Β  D(βˆ’6β€…β€Šβˆ£β€…β€Š5β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1)\mathrm D\left(-6\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right) Β und die SpitzeΒ  S(βˆ’3β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’1β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’4)\mathrm S\left(-3\;\left|\;-1\;\left|\;-4\right.\right.\right) Β gegeben ist.