Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{vmatrix}$

Benutze nun die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\-3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&1&2\\4&7&-1\\0&0&3\end{vmatrix}$

Verwende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte und benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&1&2\\4&7&-1\\0&0&3\end{vmatrix}$$=\frac16\cdot\left|0\cdot\begin{pmatrix}7&-1\\0&3\end{pmatrix}-4\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1&2\\7&-1\end{pmatrix}\right|$

$=\frac16\cdot\left|-4\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\right|$

$=\frac16\cdot\left|-4\cdot3\right|$

$=\frac16\cdot\left|-12\right|=\frac{12}6=2$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ und wende die  Regel von Sarrus  an.

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}-1&2&1\\3&1&3\\-2&-3&1\end{vmatrix}$

$=\frac16\cdot\left|-1-12-9+2-9-6\right|$

$=\frac16\cdot\left|-35\right|=\frac{35}6$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\3\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\5\\-2{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2{,}5\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Tetraeder}=\frac16\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&-4&1\\5&3&4\\-1&-1&-2{,}5\end{vmatrix}$

Wende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte an.

Berechne dann die  $2\times2-\mathrm{Matrizen}$  mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$  .

$\mathrm V=\frac16\cdot\begin{vmatrix}0&-4&1\\5&3&4\\-1&-1&-2{,}5\end{vmatrix}$$=\frac16\cdot\left|0\cdot\begin{pmatrix}3&4\\-1&-2{,}5\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}-4&1\\-1&-2{,}5\end{pmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{pmatrix}-4&1\\3&4\end{pmatrix}\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot\left|-5\cdot\left(10+1\right)+\left(-1\right)\cdot\left(-16-3\right)\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot\left|-55+19\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot\left|-36\right|=6$