Aufgaben zur Volumenberechnung

Berechne das Volumen des Tetraeders, das

durch die Eckpunkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (6 | 0 | 0)$ , $C (0 | 6 | 0)$ , $D (0 | 0 | 6)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} |$
Benutze nun die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} | = \frac{1}{6} \cdot | 6 \cdot 6 \cdot 6 | = \frac{1}{6} \cdot | 216 | = 36$
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durch die Eckpunkte $A (- 2 | - 2 | 0)$ , $B (- 2 | 2 | 0)$ , $C (- 1 | 5 | 0)$ , $D (0 | - 3 | 3)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 0 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 4 & 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} |$
Verwende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte und benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 4 & 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} |$ $= \frac{1}{6} \cdot | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 7 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array}) - 4 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 7 & - 1 \end{array}) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 4 \cdot (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 4 \cdot 3 |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 12 | = \frac{12}{6} = 2$
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durch die Eckpunkte $A (- 3 | - 4 | - 1)$ , $B (- 4 | - 1 | - 3)$ , $C (- 1 | - 3 | - 4)$ , $D (- 2 | - 1 | 0)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ und wende die Regel von Sarrus an.
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} - 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 1 - 12 - 9 + 2 - 9 - 6 |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 35 | = \frac{35}{6}$
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durch die Eckpunkte $A (4 | 1 | 0)$ , $B (4 | 6 | - 1)$ , $C (0 | 4 | - 1)$ , $D (5 | 5 | - 2,5)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Tetraeders
Berechne die Vektoren $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ , $\vec{AD}$ .
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ - 2,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2,5 \end{array})$
Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein: $V_{Tetraeder} = \frac{1}{6} \cdot \det (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & - 4 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ - 1 & - 1 & - 2,5 \end{array} |$
Wende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte an.
Berechne dann die $2 \times 2 - Matrizen$ mit Hilfe der Formel $\det (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) = ad - bc$ .
$V = \frac{1}{6} \cdot | \begin{array}{ccc} 0 & - 4 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ - 1 & - 1 & - 2,5 \end{array} |$ $= \frac{1}{6} \cdot | 0 \cdot (\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ - 1 & - 2,5 \end{array}) - 5 \cdot (\begin{array}{cc} - 4 & 1 \\ - 1 & - 2,5 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{cc} - 4 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 5 \cdot (10 + 1) + (- 1) \cdot (- 16 - 3) |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 55 + 19 |$
$= \frac{1}{6} \cdot | - 36 | = 6$
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