Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm{V}}_{\mathrm{Tetraeder}}=\frac{1}{6}\cdot \det (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}})$

$\mathrm{V}=\frac{1}{6}\cdot \left|\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right|$

Benutze nun die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm{V}}_{\mathrm{Tetraeder}}=\frac{1}{6}\cdot \det (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}})$

$\mathrm{V}=\frac{1}{6}\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 4& 7& -1\\ 0& 0& 3\end{array}\right|$

Verwende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte und benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .

$\mathrm{V}=\frac{1}{6}\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 4& 7& -1\\ 0& 0& 3\end{array}\right|$$=\frac{1}{6}\cdot |0\cdot \left(\begin{array}{cc}7& -1\\ 0& 3\end{array}\right)-4\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& -1\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-4\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-4\cdot 3|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-12|=\frac{12}{6}=2$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm{V}}_{\mathrm{Tetraeder}}=\frac{1}{6}\cdot \det (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}})$ und wende die  Regel von Sarrus  an.

$\mathrm{V}=\frac{1}{6}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& 1& 3\\ -2& -3& 1\end{array}\right|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-1-12-9+2-9-6|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-35|=\frac{35}{6}$

Berechne die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{C}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}-\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -\mathrm{2,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -\mathrm{2,5}\end{array}\right)$

Setze in die Formel für das Volumen eines Tetraeders ein:  ${\mathrm{V}}_{\mathrm{Tetraeder}}=\frac{1}{6}\cdot \det (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}})$

$\mathrm{V}=\frac{1}{6}\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -4& 1\\ 5& 3& 4\\ -1& -1& -\mathrm{2,5}\end{array}\right|$

Wende die Laplacesche Entwicklung nach der 1. Spalte an.

Berechne dann die  $2\times 2-\mathrm{Matrizen}$  mit Hilfe der Formel $\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right)=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$  .

$\mathrm{V}=\frac{1}{6}\cdot \left|\begin{array}{ccc}0& -4& 1\\ 5& 3& 4\\ -1& -1& -\mathrm{2,5}\end{array}\right|$$=\frac{1}{6}\cdot |0\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& -\mathrm{2,5}\end{array}\right)-5\cdot \left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -1& -\mathrm{2,5}\end{array}\right)+(-1)\cdot \left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ 3& 4\end{array}\right)|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-5\cdot (10+1)+(-1)\cdot (-16-3)|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-55+19|$

$=\frac{1}{6}\cdot |-36|=6$