Aufgaben zur Volumenberechnung

Berechne das Volumen der Pyramide, die

durch die Eckpunkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(6\;\left|\;0\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(0\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right)$ , $\mathrm D\left(6\;\left|\;6\;\left|\;0\right.\right.\right)$ und die Spitze $\mathrm S\left(3\;\left|\;3\;\left|\;6\right.\right.\right)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne zuerst die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein: ${\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ .
$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|$
Benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .
$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|\\=\frac13\cdot\left|6\cdot6\cdot6\right|\\=\frac13\cdot\left|216\right|\\=72$
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durch die Eckpunkte $\mathrm A\left(0\;\left|\;0\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm B\left(-4\;\left|\;-1\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ , $\mathrm C\left(-2\;\left|\;6\;\left|\;1\right.\right.\right)$ , $\mathrm D\left(-6\;\left|\;5\;\left|\;-1\right.\right.\right)$ und die Spitze $\mathrm S\left(-3\;\left|\;-1\;\left|\;-4\right.\right.\right)$ gegeben ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Für das Volumen einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche gibt es diese Formel:
$\displaystyle {\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right)\right|$

Um sie anwenden zu können musst du aber erst zeigen, dass die Grundfläche ein Parallelogramm ist.
Berechne dazu die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm B}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm C}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}$
Du siehst, dass mit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ , sowie $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ jeweils Vektoren gegenüberliegender Seiten gleich sind. Deshalb sind diese Seiten parallel und die Grundfläche ist ein Parallelogramm.
$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-5\end{pmatrix}$
Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein: ${\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right)\right|$ .
$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|$
Berechne die Determinante mit der Laplace-schen Entwicklung nach 2. Spalte.
$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|\\=\frac13\cdot\left|-\left(-2\right)\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-5\end{pmatrix}+6\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-2&-5\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-1&-1\end{pmatrix}\right|$
Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrizen}$ mit Hilfe der Formel $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$ .
$V=...=\frac13\cdot\left|2\cdot\left(5-2\right)+6\cdot\left(20-6\right)\right|$
$=\frac13\cdot\left|6+84\right|=\frac{90}3=30$
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