Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$.

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|$

Benutze die Eigenschaften der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix .

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}6&0&3\\0&6&3\\0&0&6\end{pmatrix}\right|\\=\frac13\cdot\left|6\cdot6\cdot6\right|\\=\frac13\cdot\left|216\right|\\=72$

Berechne dazu die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm B}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\6\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm C}=\begin{pmatrix}-6\\5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\overrightarrow{\mathrm S}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\-5\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen einer Pyramide ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Pyramide}=\frac13\cdot\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AS}}\right)\right|$.

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|$

Berechne die Determinante mit der Laplace-schen Entwicklung nach 2. Spalte.

$\mathrm V=\frac13\cdot\left|\det\begin{pmatrix}-4&-2&-3\\-1&6&-1\\-2&0&-5\end{pmatrix}\right|\\=\frac13\cdot\left|-\left(-2\right)\cdot\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-5\end{pmatrix}+6\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-2&-5\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-4&-3\\-1&-1\end{pmatrix}\right|$

Berechne die $2\times2-\mathrm{Matrizen}$ mit Hilfe der Formel  $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$.

$V=...=\frac13\cdot\left|2\cdot\left(5-2\right)+6\cdot\left(20-6\right)\right|$

$=\frac13\cdot\left|6+84\right|=\frac{90}3=30$