Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}\right|$

$=\left|5\cdot5\cdot5\right|=\left|125\right|=125$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\7\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\7\\2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\6\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  $\mathrm{V}_{\mathrm{Parallelotop}}=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right|$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&1\\1&7&0\\1&2&6\end{pmatrix}\right|$

Benutze nun die Laplacesche Entwicklung nach 2. Spalte und berechne die daraus entstehenden  $2\times2-\mathrm{Matrizen}$  mit Hilfe der Formel  $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}5&0&1\\1&7&0\\1&2&6\end{pmatrix}\right|=\left|0\cdot\begin{pmatrix}1&0\\1&6\end{pmatrix}+7\cdot\begin{pmatrix}5&1\\1&6\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}5&1\\1&0\end{pmatrix}\right|$

$=\left|7\cdot\left(30-1\right)-2\cdot\left(-1\right)\right|$

$=\left|203+2\right|=\left|205\right|=205$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

Benutze die Eigenschaften der Determinante einer Diagonalmatrix .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}\right|$

$=\left|2\cdot2\cdot2\right|=\left|8\right|=8$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\4\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}2&-2&-2\\-2&2&-2\\-1&-1&4\end{pmatrix}\right|$

$=\left|16-4-4-4-4-16\right|\ =\ \left|-16\right|\ =\ 16$

Berechne zuerst die Vektoren   $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  ,  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$  .

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm B}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-5\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm C}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm D}-\overrightarrow{\mathrm A}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$

Setze in die Formel für das Volumen eines Parallelotops ein:  ${\mathrm V}_\mathrm{Parallelotop}=\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$  .

Nutze dann die Laplacesche Entwicklung nach 3. Spalte und berechne dann die  $2\times2-\mathrm{Matrix}$  mit Hilfe der Formel  $\det\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b\\\mathrm c&\mathrm d\end{pmatrix}=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$

$\mathrm V=\left|\det\begin{pmatrix}-3&3&0\\0&7&0\\1&3&4\end{pmatrix}\right|$

$=\left|0\cdot\begin{pmatrix}0&7\\1&3\end{pmatrix}-0\cdot\begin{pmatrix}-3&3\\1&3\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3&3\\0&7\end{pmatrix}\right|$