Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

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Teilaufgabe 2.1

Schrägbild der Pyramide ABCDS:

$A C = 10 c m$
$A M = 3 c m$
$M S = 9 c m$ und steht senkrecht auf [AC]

Die Grundfläche ist ein Drachenviereck, daher wissen wir, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Da $ω = 45 °$ ist, zeichnen wir eine Gerade durch M im Winkel von 45°
[AC] ist die Symmetrieachse, daher sind [BM] = [MD] = 4 cm. In unserem Fall haben wir den Verkürzungsfaktor $q = \frac{1}{2}$ im Schrägbild, also ist [BM] = [MD] = 2 cm.

Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.

Länge der Strecke $S C$ im rechtwinkligen Dreieck MCS mit dem Satz des Pythagoras:

${S C}^{2} = {M C}^{2} + {M S}^{2}$

$S C = \sqrt{{M C}^{2} + {M S}^{2}} = \sqrt{{(10 c m - 3 c m)}^{2} + {(9 c m)}^{2}} = (\sqrt{130 c m}) c m \approx 11,40 c m$

Maß des Winkels $∡ S C A (∡ S C A = ∡ S C M)$ :

Wir berechnen den Winkel $∡ S C M$ im rechtwinkligen Dreieck MCS (siehe Zeichnung oben) mit Hilfe der Trigonometrie:

$\tan (∡ S C M)$	$=$	$\frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
$\tan (∡ S C M)$	$=$	$\frac{M S}{M C}$
$\tan (∡ S C M)$	$=$	$\frac{9 c m}{(10 - 3) c m}$
$\tan (∡ S C M)$	$\approx$	$1, 285714$	$\cdot \tan^{- 1}$
$∡ S C M$	$\approx$	$52,13 °$

Teilaufgabe 2.2

Zeichnung des Dreiecks $P Q_{1} S$ :

Der Punkt $P \in [A S]$ und $S P = 4 c m$ (rot).
$[P Q_{1}] ⟂ [S C]$ : Wir können also ein Lot von Punkt P auf die Seite [SC] fällen (grün).
Der Schnittpunkt der Lotgeraden und der Seite [SC] ist der Punkt $Q_{1}$ .

Zeichnung des Dreiecks $P Q_{2} S$ :

Da $[P Q_{2}] ∥ [A C]$ sein soll, zeichnen wir eine Parallele durch den Punkt P zur Seite [AC] (blau).
Der Schnittpunkt der Parallelen und der Seite [SC] ist der Punkt $Q_{2}$ .

Teilaufgabe 2.3

Länge der Strecke [ $S Q_{1}$ ] im rechtwinkligen Dreieck $P Q_{1} S$ (pink) mit Hilfe der Trigonometrie:

Da wir nur eine Seite in diesem Dreieck ([SP] = 4 cm) kennen, fehlt uns noch ein Winkel oder eine zweite Seite, um die gesuchte Seite [ $S Q_{1}$ ] berechnen zu können.

Der Winkel $∡ P S Q_{1} = ∡ A S C$ (blau in der Abbildung unten):

Der Winkel liegt auch im Dreieck ACS (Abbildung rechts), vom dem wir bereit einen zweiten Winkel, den Winkel $∡ S C M = ∡ S C A$ (grün) = 52,13° kennen.

$∡ C A S$ (rot) mit Hilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck AMS:

$\tan (∡ C A S) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = \frac{S M}{A M}$

$\tan (∡ C A S) = \frac{9 c m}{3 c m}$ | $\cdot \tan^{- 1}$

$∡ C A S \approx 71,57 °$

$∡ A S C$ (blau) können wir mit der Innenwinkelsumme im Dreieck ACS berechnen:

$∡ A S C = 180 ° - 52,13 ° - 71,57 ° \approx 56,30 °$

Nun können wir endlich die Länge der Strecke $S Q_{1}$ berechnen:

$\cos (∡ A S C)$	$=$	$= \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
$\cos (∡ A S C)$	$=$	$\frac{S Q_{1}}{S P}$
$\cos (56,30 °)$	$=$	$\frac{S Q_{1}}{4 c m}$	$\cdot 4 c m$
$S Q_{1}$	$=$	$\cos (56,30 °) \cdot 4 c m$
$S Q_{1}$	$\approx$	$2,22 c m$

Bemerkung: alternativ können wir auch im rechtwinkligen Dreieck $A M S$ den Wert von $A S$ mit dem Satz des Pythagoras als $\sqrt{3^{2} + 9^{2}} = \sqrt{90}$ berechnen. Dann verwenden wir den Sinussatz und erhalten den Sinus von $∡ A S C$ durch Auflösen von

\frac{\sin ∡ A S C}{10} = \frac{\sin {52,15}^{°}}{\sqrt{90}}

Teilaufgabe 2.4

Flächeninhalt A des Dreiecks $P Q_{2} S$ : $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot S P \cdot P Q_{2} \cdot \sin (∡ Q_{2} P S)$

Uns fehlt also die Strecke $P Q_{2}$ und der Winkel $∡ Q_{2} P S$ :

Winkel $∡ Q_{2} P S$ :

Betrachten wir die Dreiecke $S P Q_{2}$ und $S A C$ , sehen wir, dass sie die gleiche Spitze haben, außerdem ist $P Q_{2} ∥ A C$ (zentrische Streckung), somit sind sie auch winkeltreu.

$∡ Q_{2} P S = ∡ C A S = 71,57 °$ wie in Teilaufgabe 2.3 berechnet.

Strecke ${P Q}_{2}$ mit dem Sinussatz im Dreieck $S P Q_{2}$ :

$\frac{P S}{\sin (∡ S Q_{2} P)}$	$=$	$\frac{P Q_{2}}{\sin (∡ A S C)}$
$\frac{4 c m}{\sin (52,13 °)}$	$=$	$\frac{P Q_{2}}{\sin (56,30 °)}$	$\cdot \sin (56,30 °)$
$P Q_{2}$	$=$	$\frac{4 c m \cdot \sin (56,30 °)}{\sin (52,13 °)}$
$P Q_{2}$	$\approx$	$4,22 c m$

Nun können wir die Fläche $A$ berechnen:

$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot S P \cdot P Q_{2} \cdot \sin (∡ Q_{2} P S) = \frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 4,22 c m \cdot \sin (71,57 °) \approx 8,01 c m^{2}$

Teilaufgabe 2.5

Zeichnung der Pyramide $A B C D Q_{3}$ :

$∡ Q_{3} P S = 77 °$
Der Schnittpunkt mit der Seite [SC] bildet die Spitze der Pyramide $A B C D Q_{3}$ .

Verbinde nun alle Eckpunkte miteinander.
Fälle nun das Lot von Q_3 auf die Diagonale auf [AC], der Schnittpunkt ist der Fußpunkt F der Höhe der Pyramide.

Länge der Höhe [ $Q_{3} F_{3}$ ] der Pyramide $A B C D Q_{3}$ im rechtwinkligen Dreieck $F_{3} C Q_{3}$ mit der Trigonometrie:

$\sin (∡ A C S) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{Q_{3} F_{3}}{Q_{3} Q}$

Uns fehlt in dieser Formel die Seite $Q_{3} C$ . Aber: $Q_{3} C = S C - S Q_{3}$ .

Somit brauchen wir auch $S Q_{3}$ im Dreieck $S P Q_{3}$ mit dem Sinussatz:

$∡ S Q_{3} P = 180 ° - ∡ A S C - ∡ S P Q_{3} = 180 ° - 56,30 ° - 77 ° = 46,70 °$

$\frac{S P}{\sin (∡ S Q_{3} P)}$	$=$	$\frac{S Q_{3}}{\sin (∡ S P Q_{3})}$
$\frac{4 c m}{\sin (46,70 °)}$	$=$	$\frac{S Q_{3}}{\sin (77^{°})}$	$\cdot \sin (77 °)$
$S Q_{3}$	$=$	$\frac{4 c m \cdot \sin (77 °)}{\sin (46,70 °)}$
$S Q_{3}$	$=$	$5,36 c m$

$Q_{3} C = S C - S Q_{3} = 11,40 c m - 5,36 c m \approx 6,04 c m$

$\sin (∡ S C A) = \frac{Q_{3} F_{3}}{Q_{3} C}$

$\sin (52,13 °) = \frac{Q_{3} F_{3}}{6,04 c m}$

$Q_{3} F_{3_{}} = 6,04 c m \cdot \sin (52,13 °) \approx 4,77 c m$

Teilaufgabe 2.6

Volumen der Pyramiden $A B C D Q_{n}$ mit $S Q_{n} (x) = x$ : $V_{A B C D Q_{n}} = \frac{1}{3} \cdot G_{D r a c h e} \cdot h$

Für die Höhe $h = Q_{n} F_{n}$ gehen wir wie oben vor:

$Q_{n} C = S C - S Q_{n} = 11,40 c m - x$

$\sin (∡ S C A)$	$=$	$\frac{Q_{n} F_{n}}{Q_{3} C}$
$\sin (52,13 °)$	$=$	$\frac{Q_{n} F_{n}}{11,40 c m - x}$
$Q_{n} F_{n}$	$=$	$\sin (52,13 °) (11,40 c m - x)$
$Q_{n} F_{n}$	$=$	$9,00 c m - \sin (52,13 °) \cdot x$
$Q_{n} F_{n}$	$\approx$	$9,00 c m - 0,79 x$

Für die Grundfläche $G = e \cdot f$ mit $e = B D = 8 c m$ und $f = A C = 10 c m$ :

$G_{D r a c h e} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 c m^{2} = 40 c m^{2}$

$V_{A B C D Q_{n}} (x) = \frac{1}{3} \cdot G_{D r a c h e} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 40 c m^{2} \cdot (9,00 c m - 0,79 x) = (120 - 10,53 x) c m^{3}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?