Teil A - lernen mit Serlo!

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Punkte für Aufgabe 2.1: 2 P

Punkte für Aufgabe 2.2: 3 P

Punkte für Aufgabe 2.3: 4 P

Lösung zu Teilaufgabe A 2.1

In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.

Um den Punkt $A_{2}$ zu berechnen, setzt du den Wert $\varphi=90°$ in $A_n(2 \cdot \sin \varphi-4|3\cdot \sin \varphi-1)$ ein und erinnerst dich, dass $\sin 90°=1$ gilt. Damit erhältst du $A_{2} (- 2 ∣ 2)$ .

Nun kannst du den Punkt $A_{2}$ sowie die Verbindungsgeraden $[A_{2} B]$ und $[A_{2} D]$ in das Koordinatensystem eintragen.

Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke $[A_{2} B]$ durch den Punkt $D$ und eine Parallele zu $[A_{2} D]$ durch den Punkt $B$ . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt $C_{2}$ und somit auch das Parallelogramm $A_{2} B C_{2} D$ .

Lösung zu Teilaufgabe A 2.2

In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.

Gegeben sind die zwei Punkte $A_{2} (- 2 ∣ 2)$ und $A_{1} (- 4 ∣ - 1)$ . Du berechnest zunächst die Steigung $m$ des Trägergraphen $t$ . Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:

\displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{A_2}-y_{A_1}}{x_{A_2}-x_{A_1}}=\frac{2-(-1)}{-2-(-4)}=\frac{3}{2}

Für den $y$ -Achsenabschnitt $c$ setzt du den Punkt $A_{1}$ in die Geradengleichung $t(x)=m\cdot x+c$ ein und berechnest:

$\displaystyle t(-4)$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze die Definition von $t$ ein.
$\displaystyle -4\cdot m+c$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze den Wert für $m$ ein.
$\displaystyle \displaystyle -4\cdot\frac 32+c$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -6+c$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +6$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$\displaystyle \displaystyle c$	$=$	$\displaystyle -1+6$
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 5$

Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:

\displaystyle t(x)=\frac 32\cdot x+5.

Für die Skizze des Trägergraphens $t$ kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe A 2.1 schauen.

Lösung zu Teilaufgabe A 2.3

Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor $0,5$ fällt weg.

Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks $A_{n} B D$ . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren

$\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\3-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$

und

$\displaystyle \overrightarrow{BA_n}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-4-(-2)\\3\cdot\sin(\varphi)-1-(-3)\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-2\\3\cdot\sin(\varphi)+2\end{pmatrix}$

Nach der Determinantenformel gilt

$\displaystyle A_{\triangle A_nBD}$	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot\left\|\overrightarrow{BD}\,\overrightarrow{BA_n}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot\begin{vmatrix}4& 2\cdot\sin(\varphi)-2\\6&3\cdot\sin(\varphi)+2\end{vmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left[4\cdot(3\cdot\sin(\varphi)+2)-6\cdot(2\cdot\sin(\varphi)-2)\right]$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left[12\cdot\sin(\varphi)+8-12\cdot\sin(\varphi)+12\right]=10\,\mathrm{(FE).}$

Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{n} B C_{n} D$ das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:

\displaystyle A_{A_nBC_nD}=2\cdot A_{\triangle{A_nBD}}=20\,\mathrm{(FE).}

Da dieses Ergebnis unabhängig von $\varphi$ ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.

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